MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptfi 8811
Description: A finite mapping set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptfi (𝐴 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem mptfi
StepHypRef Expression
1 funmpt 6386 . . 3 Fun (𝑥𝐴𝐵)
2 funfn 6378 . . 3 (Fun (𝑥𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵))
31, 2mpbi 231 . 2 (𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵)
4 eqid 2818 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
54dmmptss 6088 . . 3 dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
6 ssfi 8726 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
75, 6mpan2 687 . 2 (𝐴 ∈ Fin → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
8 fnfi 8784 . 2 (((𝑥𝐴𝐵) Fn dom (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
93, 7, 8sylancr 587 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝑥𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wss 3933  cmpt 5137  dom cdm 5548  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  Fincfn 8497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-fin 8501
This theorem is referenced by:  abrexfi  8812  ccatalpha  13935  prdsmet  22907  gsummpt2co  30613  carsgclctunlem2  31476  carsgclctunlem3  31477  breprexplema  31800  istotbnd3  34930  sstotbnd  34934  totbndbnd  34948  rnmptfi  41303  choicefi  41339  stoweidlem39  42201  fourierdlem31  42300  aacllem  44830
  Copyright terms: Public domain W3C validator