MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptnn0fsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptnn0fsupp 12737
Description: A mapping from the nonnegative integers is finitely supported under certain conditions. (Contributed by AV, 5-Oct-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptnn0fsupp.0 (𝜑0𝑉)
mptnn0fsupp.c ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
mptnn0fsupp.s (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
Assertion
Ref Expression
mptnn0fsupp (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsupp
StepHypRef Expression
1 mptnn0fsupp.c . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
21ralrimiva 2960 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
3 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
43fnmpt 5977 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0)
6 nn0ex 11242 . . . . 5 0 ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
8 mptnn0fsupp.0 . . . . 5 (𝜑0𝑉)
9 elex 3198 . . . . 5 ( 0𝑉0 ∈ V)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑0 ∈ V)
11 suppvalfn 7247 . . . 4 (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
125, 7, 10, 11syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
13 mptnn0fsupp.s . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
14 nne 2794 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )
15 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
162ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
17 rspcsbela 3978 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
1815, 16, 17syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
193fvmpts 6242 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
2015, 18, 19syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
2120eqeq1d 2623 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
2214, 21syl5bb 272 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
2322imbi2d 330 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
2423ralbidva 2979 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
2524rexbidva 3042 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
2613, 25mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ))
27 rabssnn0fi 12725 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ))
2826, 27sylibr 224 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } ∈ Fin)
2912, 28eqeltrd 2698 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin)
30 funmpt 5884 . . . 4 Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
3130a1i 11 . . 3 (𝜑 → Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶))
326mptex 6440 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V
3332a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V)
34 funisfsupp 8224 . . 3 ((Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
3531, 33, 10, 34syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
3629, 35mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  csb 3514   class class class wbr 4613  cmpt 4673  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  cfv 5847  (class class class)co 6604   supp csupp 7240  Fincfn 7899   finSupp cfsupp 8219   < clt 10018  0cn0 11236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269
This theorem is referenced by:  mptnn0fsuppd  12738  mptcoe1fsupp  19504  mptcoe1matfsupp  20526  pm2mp  20549  chfacffsupp  20580  chfacfscmulfsupp  20583  chfacfpmmulfsupp  20587  cayhamlem4  20612  ply1mulgsumlem3  41464  ply1mulgsumlem4  41465
  Copyright terms: Public domain W3C validator