MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptnn0fsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptnn0fsupp 13353
Description: A mapping from the nonnegative integers is finitely supported under certain conditions. (Contributed by AV, 5-Oct-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptnn0fsupp.0 (𝜑0𝑉)
mptnn0fsupp.c ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
mptnn0fsupp.s (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
Assertion
Ref Expression
mptnn0fsupp (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsupp
StepHypRef Expression
1 mptnn0fsupp.c . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
21ralrimiva 3179 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
3 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
43fnmpt 6481 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0)
6 nn0ex 11891 . . . . 5 0 ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
8 mptnn0fsupp.0 . . . . 5 (𝜑0𝑉)
98elexd 3512 . . . 4 (𝜑0 ∈ V)
10 suppvalfn 7826 . . . 4 (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
115, 7, 9, 10syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
12 mptnn0fsupp.s . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
13 nne 3017 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )
14 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
152ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
16 rspcsbela 4384 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
1714, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
183fvmpts 6764 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
1914, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
2019eqeq1d 2820 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
2113, 20syl5bb 284 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
2221imbi2d 342 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
2322ralbidva 3193 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
2423rexbidva 3293 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
2512, 24mpbird 258 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ))
26 rabssnn0fi 13342 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ))
2725, 26sylibr 235 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } ∈ Fin)
2811, 27eqeltrd 2910 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin)
29 funmpt 6386 . . 3 Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
306mptex 6977 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V
31 funisfsupp 8826 . . 3 ((Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
3229, 30, 9, 31mp3an12i 1456 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
3328, 32mpbird 258 1 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  csb 3880   class class class wbr 5057  cmpt 5137  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  cfv 6348  (class class class)co 7145   supp csupp 7819  Fincfn 8497   finSupp cfsupp 8821   < clt 10663  0cn0 11885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881
This theorem is referenced by:  mptnn0fsuppd  13354  mptcoe1fsupp  20311  mptcoe1matfsupp  21338  pm2mp  21361  chfacffsupp  21392  chfacfscmulfsupp  21395  chfacfpmmulfsupp  21399  cayhamlem4  21424  ply1mulgsumlem3  44370  ply1mulgsumlem4  44371
  Copyright terms: Public domain W3C validator