MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrccl 16203
Description: The Moore closure of a set is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrcfval.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mrccl ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (𝐹𝑈) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mrccl
StepHypRef Expression
1 mrcfval.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
21mrcf 16201 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋𝐶)
32adantr 481 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋𝐶)
4 mre1cl 16186 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋𝐶)
5 elpw2g 4792 . . . 4 (𝑋𝐶 → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑋𝑈𝑋))
64, 5syl 17 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑋𝑈𝑋))
76biimpar 502 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑋)
83, 7ffvelrnd 6321 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (𝐹𝑈) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3559  𝒫 cpw 4135  wf 5848  cfv 5852  Moorecmre 16174  mrClscmrc 16175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-fv 5860  df-mre 16178  df-mrc 16179
This theorem is referenced by:  mrcsncl  16204  mrcidb  16207  mrcidm  16211  submrc  16220  isacs2  16246  mrelatlub  17118  mreclatBAD  17119  gsumwspan  17315  cycsubg2cl  17564  symggen  17822  odf1o1  17919  cntzspan  18179  gsumzsplit  18259  gsumzoppg  18276  gsumpt  18293  dmdprdd  18330  dprdfeq0  18353  dprdspan  18358  dprdres  18359  dprdz  18361  subgdmdprd  18365  subgdprd  18366  dprd2dlem1  18372  dprd2da  18373  dmdprdsplit2lem  18376  mrccss  19970  ismrcd2  36777  proot1mul  37293
  Copyright terms: Public domain W3C validator