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Theorem mrcmndind 17567
 Description: (( From SO's determinants branch )). TODO: Appropriate description to be added! (Contributed by SO, 14-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcmndind.ch (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜒))
mrcmndind.th (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝜓𝜃))
mrcmndind.ta (𝑥 = 0 → (𝜓𝜏))
mrcmndind.et (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
mrcmndind.0g 0 = (0g𝑀)
mrcmndind.pg + = (+g𝑀)
mrcmndind.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
mrcmndind.m (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
mrcmndind.g (𝜑𝐺𝐵)
mrcmndind.k (𝜑𝐵 = ((mrCls‘(SubMnd‘𝑀))‘𝐺))
mrcmndind.i1 (𝜑𝜏)
mrcmndind.i2 (((𝜑𝑦𝐵𝑧𝐺) ∧ 𝜒) → 𝜃)
mrcmndind.a (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
mrcmndind (𝜑𝜂)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧   𝜒,𝑥,𝑧   𝜃,𝑥   𝑥, 0   𝑥,𝐴   𝜏,𝑥   𝜂,𝑥   𝑦,𝐺,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)   𝜂(𝑦,𝑧)   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem mrcmndind
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrcmndind.i1 . . . 4 (𝜑𝜏)
2 mrcmndind.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
3 mrcmndind.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
4 mrcmndind.0g . . . . . . 7 0 = (0g𝑀)
53, 4mndidcl 17509 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Mnd → 0𝐵)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝐵)
7 mrcmndind.ta . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝜓𝜏))
87sbcieg 3609 . . . . 5 ( 0𝐵 → ([ 0 / 𝑥]𝜓𝜏))
96, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → ([ 0 / 𝑥]𝜓𝜏))
101, 9mpbird 247 . . 3 (𝜑[ 0 / 𝑥]𝜓)
11 dfsbcq 3578 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[ 0 / 𝑥]𝜓))
12 oveq1 6820 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝑎 + 𝐴) = ( 0 + 𝐴))
1312sbceq1d 3581 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ([(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓[( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓))
1411, 13imbi12d 333 . . . 4 (𝑎 = 0 → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓) ↔ ([ 0 / 𝑥]𝜓[( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓)))
15 mrcmndind.k . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = ((mrCls‘(SubMnd‘𝑀))‘𝐺))
163submacs 17566 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝑀) ∈ (ACS‘𝐵))
172, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (SubMnd‘𝑀) ∈ (ACS‘𝐵))
1817acsmred 16518 . . . . . . . 8 (𝜑 → (SubMnd‘𝑀) ∈ (Moore‘𝐵))
19 mrcmndind.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐵)
20 eleq1w 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦𝐵𝑎𝐵))
2120anbi2d 742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → (((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑎𝐵)))
22 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 ∈ V
23 mrcmndind.ch . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝜓𝜒))
2422, 23sbcie 3611 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑦 / 𝑥]𝜓𝜒)
25 dfsbcq 3578 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑎 → ([𝑦 / 𝑥]𝜓[𝑎 / 𝑥]𝜓))
2624, 25syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎 → (𝜒[𝑎 / 𝑥]𝜓))
27 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏))
2827sbceq1d 3581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑎 → ([(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
2926, 28imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → ((𝜒[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)))
3021, 29imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎 → ((((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑦𝐵) → (𝜒[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)) ↔ (((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑎𝐵) → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))))
31 eleq1w 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑏 → (𝑧𝐺𝑏𝐺))
3231anbi2d 742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑏 → ((𝜑𝑧𝐺) ↔ (𝜑𝑏𝐺)))
3332anbi1d 743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑏 → (((𝜑𝑧𝐺) ∧ 𝑦𝐵) ↔ ((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑦𝐵)))
34 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 + 𝑧) ∈ V
35 mrcmndind.th . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝜓𝜃))
3634, 35sbcie 3611 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑦 + 𝑧) / 𝑥]𝜓𝜃)
37 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑏 → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + 𝑏))
3837sbceq1d 3581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑏 → ([(𝑦 + 𝑧) / 𝑥]𝜓[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
3936, 38syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑏 → (𝜃[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
4039imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑏 → ((𝜒𝜃) ↔ (𝜒[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)))
4133, 40imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑏 → ((((𝜑𝑧𝐺) ∧ 𝑦𝐵) → (𝜒𝜃)) ↔ (((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑦𝐵) → (𝜒[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))))
42 mrcmndind.i2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝐵𝑧𝐺) ∧ 𝜒) → 𝜃)
4342ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵𝑧𝐺) → (𝜒𝜃))
44433expa 1112 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑧𝐺) → (𝜒𝜃))
4544an32s 881 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝐺) ∧ 𝑦𝐵) → (𝜒𝜃))
4641, 45chvarv 2408 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑦𝐵) → (𝜒[(𝑦 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
4730, 46chvarv 2408 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑏𝐺) ∧ 𝑎𝐵) → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
4847ralrimiva 3104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝐺) → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓))
4919, 48ssrabdv 3822 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ⊆ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)})
50 mrcmndind.pg . . . . . . . . 9 + = (+g𝑀)
513, 50, 4mndrid 17513 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎 + 0 ) = 𝑎)
522, 51sylan 489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑎 + 0 ) = 𝑎)
5352sbceq1d 3581 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐵) → ([(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓[𝑎 / 𝑥]𝜓))
5453biimprd 238 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐵) → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓))
5554ralrimiva 3104 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓))
56 simprrl 823 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝐵𝑑𝐵) ∧ (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓) ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓)))) → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓))
572ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑀 ∈ Mnd)
58 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
59 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑐𝐵)
603, 50mndcl 17502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝐵)
6157, 58, 59, 60syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝐵)
62 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑏 + 𝑐)) → 𝑎 = (𝑏 + 𝑐))
6362sbceq1d 3581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑏 + 𝑐)) → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓))
64 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑏 + 𝑐) → (𝑎 + 𝑑) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑))
65 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑑𝐵)
663, 50mndass 17503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑏𝐵𝑐𝐵𝑑𝐵)) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
6757, 58, 59, 65, 66syl13anc 1479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
6864, 67sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑏 + 𝑐)) → (𝑎 + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
6968sbceq1d 3581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑏 + 𝑐)) → ([(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
7063, 69imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑎 = (𝑏 + 𝑐)) → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓) ↔ ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
7161, 70rspcdv 3452 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) ∧ 𝑏𝐵) → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓) → ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
7271ralrimdva 3107 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐵𝑑𝐵)) → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓) → ∀𝑏𝐵 ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
7372impr 650 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝐵𝑑𝐵) ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓))) → ∀𝑏𝐵 ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
74 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑐))
7574sbceq1d 3581 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑎 → ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓))
76 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑎 → (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + 𝑑)))
7776sbceq1d 3581 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑎 → ([(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
7875, 77imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑎 → (([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓) ↔ ([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
7978cbvralv 3310 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑏𝐵 ([(𝑏 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑏 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
8073, 79sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝐵𝑑𝐵) ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓))) → ∀𝑎𝐵 ([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
8180adantrrl 762 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝐵𝑑𝐵) ∧ (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓) ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓)))) → ∀𝑎𝐵 ([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
82 imim1 83 . . . . . . . . . . 11 (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓) → (([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓) → ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
8382ral2imi 3085 . . . . . . . . . 10 (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓) → (∀𝑎𝐵 ([(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓) → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
8456, 81, 83sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((𝑐𝐵𝑑𝐵) ∧ (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓) ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓)))) → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
85 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 0 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 0 ))
8685sbceq1d 3581 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 0 → ([(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓))
8786imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 0 → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓)))
8887ralbidv 3124 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 0 → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 0 ) / 𝑥]𝜓)))
89 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑐 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑐))
9089sbceq1d 3581 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑐 → ([(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓))
9190imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑐 → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓)))
9291ralbidv 3124 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑐 → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑐) / 𝑥]𝜓)))
93 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑑))
9493sbceq1d 3581 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 → ([(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓))
9594imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑑 → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓)))
9695ralbidv 3124 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑑 → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑑) / 𝑥]𝜓)))
97 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑐 + 𝑑) → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + (𝑐 + 𝑑)))
9897sbceq1d 3581 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = (𝑐 + 𝑑) → ([(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓))
9998imbi2d 329 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (𝑐 + 𝑑) → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
10099ralbidv 3124 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝑐 + 𝑑) → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + (𝑐 + 𝑑)) / 𝑥]𝜓)))
1013, 50, 4, 2, 55, 84, 88, 92, 96, 100issubmd 17550 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)} ∈ (SubMnd‘𝑀))
102 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (mrCls‘(SubMnd‘𝑀)) = (mrCls‘(SubMnd‘𝑀))
103102mrcsscl 16482 . . . . . . . 8 (((SubMnd‘𝑀) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐺 ⊆ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)} ∧ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)} ∈ (SubMnd‘𝑀)) → ((mrCls‘(SubMnd‘𝑀))‘𝐺) ⊆ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)})
10418, 49, 101, 103syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → ((mrCls‘(SubMnd‘𝑀))‘𝐺) ⊆ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)})
10515, 104eqsstrd 3780 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)})
106 mrcmndind.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
107105, 106sseldd 3745 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)})
108 oveq2 6821 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐴 → (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝐴))
109108sbceq1d 3581 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐴 → ([(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓))
110109imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐴 → (([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓)))
111110ralbidv 3124 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐴 → (∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓) ↔ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓)))
112111elrab 3504 . . . . . 6 (𝐴 ∈ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)} ↔ (𝐴𝐵 ∧ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓)))
113112simprbi 483 . . . . 5 (𝐴 ∈ {𝑏𝐵 ∣ ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝑏) / 𝑥]𝜓)} → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓))
114107, 113syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝐵 ([𝑎 / 𝑥]𝜓[(𝑎 + 𝐴) / 𝑥]𝜓))
11514, 114, 6rspcdva 3455 . . 3 (𝜑 → ([ 0 / 𝑥]𝜓[( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓))
11610, 115mpd 15 . 2 (𝜑[( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓)
1173, 50, 4mndlid 17512 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ( 0 + 𝐴) = 𝐴)
1182, 106, 117syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ( 0 + 𝐴) = 𝐴)
119118sbceq1d 3581 . . 3 (𝜑 → ([( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓[𝐴 / 𝑥]𝜓))
120 mrcmndind.et . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝜓𝜂))
121120sbcieg 3609 . . . 4 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑥]𝜓𝜂))
122106, 121syl 17 . . 3 (𝜑 → ([𝐴 / 𝑥]𝜓𝜂))
123119, 122bitrd 268 . 2 (𝜑 → ([( 0 + 𝐴) / 𝑥]𝜓𝜂))
124116, 123mpbid 222 1 (𝜑𝜂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  {crab 3054  [wsbc 3576   ⊆ wss 3715  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  0gc0g 16302  Moorecmre 16444  mrClscmrc 16445  ACScacs 16447  Mndcmnd 17495  SubMndcsubmnd 17535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-fin 8125  df-0g 16304  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537 This theorem is referenced by:  mdetunilem7  20626
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