MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrcssd 16883
Description: Moore closure preserves subset ordering. Deduction form of mrcss 16875. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssd.3 (𝜑𝑈𝑉)
mrcssd.4 (𝜑𝑉𝑋)
Assertion
Ref Expression
mrcssd (𝜑 → (𝑁𝑈) ⊆ (𝑁𝑉))

Proof of Theorem mrcssd
StepHypRef Expression
1 mrcssd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mrcssd.3 . 2 (𝜑𝑈𝑉)
3 mrcssd.4 . 2 (𝜑𝑉𝑋)
4 mrcssd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
54mrcss 16875 . 2 ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑉𝑉𝑋) → (𝑁𝑈) ⊆ (𝑁𝑉))
61, 2, 3, 5syl3anc 1363 1 (𝜑 → (𝑁𝑈) ⊆ (𝑁𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  cfv 6348  Moorecmre 16841  mrClscmrc 16842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-mre 16845  df-mrc 16846
This theorem is referenced by:  mressmrcd  16886  mrieqv2d  16898  mrissmrid  16900  mreexexlem2d  16904  isacs3lem  17764  isacs4lem  17766  acsfiindd  17775  acsmapd  17776  acsmap2d  17777  dprdres  19079  dprdss  19080  dprd2dlem1  19092  dprd2da  19093  dmdprdsplit2lem  19096
  Copyright terms: Public domain W3C validator