MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssidd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrcssidd 16279
Description: A set is contained in its Moore closure. Deduction form of mrcssid 16271. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssidd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssidd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssidd.3 (𝜑𝑈𝑋)
Assertion
Ref Expression
mrcssidd (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))

Proof of Theorem mrcssidd
StepHypRef Expression
1 mrcssidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mrcssidd.3 . 2 (𝜑𝑈𝑋)
3 mrcssidd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
43mrcssid 16271 . 2 ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
51, 2, 4syl2anc 693 1 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  wss 3572  cfv 5886  Moorecmre 16236  mrClscmrc 16237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-fv 5894  df-mre 16240  df-mrc 16241
This theorem is referenced by:  submrc  16282  mrieqvlemd  16283  mrieqv2d  16293  mreexmrid  16297  mreexexlem2d  16299  mreexexlem3d  16300  mreexfidimd  16305  isacs2  16308  acsmap2d  17173  cycsubg2cl  17626  odf1o1  17981  gsumzsplit  18321  gsumzoppg  18338  gsumpt  18355  dprdfeq0  18415  dprdspan  18420  subgdmdprd  18427  subgdprd  18428  dprd2dlem1  18434  dprd2da  18435  dmdprdsplit2lem  18438  pgpfac1lem1  18467  pgpfac1lem3a  18469  pgpfac1lem3  18470  pgpfac1lem5  18472  pgpfaclem2  18475  proot1mul  37603
  Copyright terms: Public domain W3C validator