MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssidd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrcssidd 16884
Description: A set is contained in its Moore closure. Deduction form of mrcssid 16876. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssidd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssidd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssidd.3 (𝜑𝑈𝑋)
Assertion
Ref Expression
mrcssidd (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))

Proof of Theorem mrcssidd
StepHypRef Expression
1 mrcssidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mrcssidd.3 . 2 (𝜑𝑈𝑋)
3 mrcssidd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
43mrcssid 16876 . 2 ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
51, 2, 4syl2anc 584 1 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  cfv 6348  Moorecmre 16841  mrClscmrc 16842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-mre 16845  df-mrc 16846
This theorem is referenced by:  submrc  16887  mrieqvlemd  16888  mrieqv2d  16898  mreexmrid  16902  mreexexlem2d  16904  mreexexlem3d  16905  mreexfidimd  16909  isacs2  16912  acsmap2d  17777  cycsubg2cl  18292  odf1o1  18626  gsumzsplit  18976  gsumzoppg  18993  gsumpt  19011  dprdfeq0  19073  dprdspan  19078  subgdmdprd  19085  subgdprd  19086  dprd2dlem1  19092  dprd2da  19093  dmdprdsplit2lem  19096  pgpfac1lem1  19125  pgpfac1lem3a  19127  pgpfac1lem3  19128  pgpfac1lem5  19130  pgpfaclem2  19133  proot1mul  39677
  Copyright terms: Public domain W3C validator