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Theorem mreexexdOLD 16230
 Description: Obsolete proof of mreexexd 16229 as of 2-Jun-2021. Exchange-type theorem. In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if 𝐹 and 𝐺 are disjoint from 𝐻, (𝐹 ∪ 𝐻) is independent, 𝐹 is contained in the closure of (𝐺 ∪ 𝐻), and either 𝐹 or 𝐺 is finite, then there is a subset 𝑞 of 𝐺 equinumerous to 𝐹 such that (𝑞 ∪ 𝐻) is independent. This implies the case of Proposition 4.2.1 in [FaureFrolicher] p. 86 where either (𝐴 ∖ 𝐵) or (𝐵 ∖ 𝐴) is finite. The theorem is proven by induction using mreexexlem3d 16227 for the base case and mreexexlem4d 16228 for the induction step. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexexlem2d.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexexlem2d.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexexlem2d.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexexlem2d.5 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
mreexexlem2d.6 (𝜑𝐺 ⊆ (𝑋𝐻))
mreexexlem2d.7 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
mreexexlem2d.8 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
mreexexd.9 (𝜑 → (𝐹 ∈ Fin ∨ 𝐺 ∈ Fin))
Assertion
Ref Expression
mreexexdOLD (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑞 ∧ (𝑞𝐻) ∈ 𝐼))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑞   𝐼,𝑞   𝐻,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠,𝑞)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑁(𝑞)   𝑋(𝑞)

Proof of Theorem mreexexdOLD
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑙 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexexlem2d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
21elfvexd 6179 . 2 (𝜑𝑋 ∈ V)
3 mreexexlem2d.5 . 2 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
4 mreexexlem2d.6 . 2 (𝜑𝐺 ⊆ (𝑋𝐻))
5 mreexexlem2d.7 . 2 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
6 mreexexlem2d.8 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
7 cardon 8714 . . . . 5 (card‘𝐹) ∈ On
87onordi 5791 . . . 4 Ord (card‘𝐹)
9 cardon 8714 . . . . 5 (card‘𝐺) ∈ On
109onordi 5791 . . . 4 Ord (card‘𝐺)
11 ordtri2or3 5783 . . . 4 ((Ord (card‘𝐹) ∧ Ord (card‘𝐺)) → ((card‘𝐹) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ (card‘𝐺) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))
128, 10, 11mp2an 707 . . 3 ((card‘𝐹) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ (card‘𝐺) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)))
133difss2d 3718 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑋)
142, 13ssexd 4765 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ V)
1514cardidd 9315 . . . . . 6 (𝜑 → (card‘𝐹) ≈ 𝐹)
1615ensymd 7951 . . . . 5 (𝜑𝐹 ≈ (card‘𝐹))
17 breq2 4617 . . . . 5 ((card‘𝐹) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (𝐹 ≈ (card‘𝐹) ↔ 𝐹 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))
1816, 17syl5ibcom 235 . . . 4 (𝜑 → ((card‘𝐹) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → 𝐹 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))
194difss2d 3718 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝑋)
202, 19ssexd 4765 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ V)
2120cardidd 9315 . . . . . 6 (𝜑 → (card‘𝐺) ≈ 𝐺)
2221ensymd 7951 . . . . 5 (𝜑𝐺 ≈ (card‘𝐺))
23 breq2 4617 . . . . 5 ((card‘𝐺) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (𝐺 ≈ (card‘𝐺) ↔ 𝐺 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))
2422, 23syl5ibcom 235 . . . 4 (𝜑 → ((card‘𝐺) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → 𝐺 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))
2518, 24orim12d 882 . . 3 (𝜑 → (((card‘𝐹) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ (card‘𝐺) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) → (𝐹 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝐺 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)))))
2612, 25mpi 20 . 2 (𝜑 → (𝐹 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝐺 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))
27 mreexexd.9 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ Fin ∨ 𝐺 ∈ Fin))
28 ficardom 8731 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Fin → (card‘𝐹) ∈ ω)
29 ficardom 8731 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Fin → (card‘𝐺) ∈ ω)
3028, 29orim12i 538 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Fin ∨ 𝐺 ∈ Fin) → ((card‘𝐹) ∈ ω ∨ (card‘𝐺) ∈ ω))
3127, 30syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((card‘𝐹) ∈ ω ∨ (card‘𝐺) ∈ ω))
32 ordom 7021 . . . . 5 Ord ω
33 ordelinel 5784 . . . . 5 ((Ord (card‘𝐹) ∧ Ord (card‘𝐺) ∧ Ord ω) → (((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∈ ω ↔ ((card‘𝐹) ∈ ω ∨ (card‘𝐺) ∈ ω)))
348, 10, 32, 33mp3an 1421 . . . 4 (((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∈ ω ↔ ((card‘𝐹) ∈ ω ∨ (card‘𝐺) ∈ ω))
3531, 34sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∈ ω)
36 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = ∅ → (𝑓𝑙𝑓 ≈ ∅))
37 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = ∅ → (𝑔𝑙𝑔 ≈ ∅))
3836, 37orbi12d 745 . . . . . . . . 9 (𝑙 = ∅ → ((𝑓𝑙𝑔𝑙) ↔ (𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅)))
39383anbi1d 1400 . . . . . . . 8 (𝑙 = ∅ → (((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) ↔ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)))
4039imbi1d 331 . . . . . . 7 (𝑙 = ∅ → ((((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ (((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
41402ralbidv 2983 . . . . . 6 (𝑙 = ∅ → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
4241albidv 1846 . . . . 5 (𝑙 = ∅ → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
4342imbi2d 330 . . . 4 (𝑙 = ∅ → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))))
44 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (𝑓𝑙𝑓𝑘))
45 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (𝑔𝑙𝑔𝑘))
4644, 45orbi12d 745 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑘 → ((𝑓𝑙𝑔𝑙) ↔ (𝑓𝑘𝑔𝑘)))
47463anbi1d 1400 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑘 → (((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) ↔ ((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)))
4847imbi1d 331 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑘 → ((((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ (((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
49482ralbidv 2983 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑘 → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
5049albidv 1846 . . . . 5 (𝑙 = 𝑘 → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
5150imbi2d 330 . . . 4 (𝑙 = 𝑘 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))))
52 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = suc 𝑘 → (𝑓𝑙𝑓 ≈ suc 𝑘))
53 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = suc 𝑘 → (𝑔𝑙𝑔 ≈ suc 𝑘))
5452, 53orbi12d 745 . . . . . . . . 9 (𝑙 = suc 𝑘 → ((𝑓𝑙𝑔𝑙) ↔ (𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘)))
55543anbi1d 1400 . . . . . . . 8 (𝑙 = suc 𝑘 → (((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) ↔ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)))
5655imbi1d 331 . . . . . . 7 (𝑙 = suc 𝑘 → ((((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ (((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
57562ralbidv 2983 . . . . . 6 (𝑙 = suc 𝑘 → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
5857albidv 1846 . . . . 5 (𝑙 = suc 𝑘 → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
5958imbi2d 330 . . . 4 (𝑙 = suc 𝑘 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))))
60 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (𝑓𝑙𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))
61 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (𝑔𝑙𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))
6260, 61orbi12d 745 . . . . . . . . 9 (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → ((𝑓𝑙𝑔𝑙) ↔ (𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)))))
63623anbi1d 1400 . . . . . . . 8 (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) ↔ ((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)))
6463imbi1d 331 . . . . . . 7 (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → ((((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ (((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
65642ralbidv 2983 . . . . . 6 (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
6665albidv 1846 . . . . 5 (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
6766imbi2d 330 . . . 4 (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))))
681ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
69 mreexexlem2d.2 . . . . . . . 8 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
70 mreexexlem2d.3 . . . . . . . 8 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
71 mreexexlem2d.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
7271ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
73 simplrl 799 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋))
7473elpwid 4141 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ⊆ (𝑋))
75 simplrr 800 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))
7675elpwid 4141 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑔 ⊆ (𝑋))
77 simpr2 1066 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)))
78 simpr3 1067 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → (𝑓) ∈ 𝐼)
79 simpr1 1065 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → (𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅))
80 en0 7963 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ≈ ∅ ↔ 𝑓 = ∅)
81 en0 7963 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ≈ ∅ ↔ 𝑔 = ∅)
8280, 81orbi12i 543 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ↔ (𝑓 = ∅ ∨ 𝑔 = ∅))
8379, 82sylib 208 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → (𝑓 = ∅ ∨ 𝑔 = ∅))
8468, 69, 70, 72, 74, 76, 77, 78, 83mreexexlem3d 16227 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))
8584ex 450 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) → (((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
8685ralrimivva 2965 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
8786alrimiv 1852 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
88 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝜑
89 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ ω
90 nfa1 2025 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))
9188, 89, 90nf3an 1828 . . . . . . . 8 (𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
92 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑓𝜑
93 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑓 𝑘 ∈ ω
94 nfra1 2936 . . . . . . . . . . 11 𝑓𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))
9594nfal 2150 . . . . . . . . . 10 𝑓𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))
9692, 93, 95nf3an 1828 . . . . . . . . 9 𝑓(𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
97 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . 13 𝑔𝜑
98 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . 13 𝑔 𝑘 ∈ ω
99 nfra2 2941 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑔𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))
10099nfal 2150 . . . . . . . . . . . . 13 𝑔𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))
10197, 98, 100nf3an 1828 . . . . . . . . . . . 12 𝑔(𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
102 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑔 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)
103101, 102nfan 1825 . . . . . . . . . . 11 𝑔((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋))
10413ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
105104ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
106713ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
107106ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
108 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋))
109108elpwid 4141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ⊆ (𝑋))
110 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))
111110elpwid 4141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑔 ⊆ (𝑋))
112 simpr2 1066 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)))
113 simpr3 1067 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → (𝑓) ∈ 𝐼)
114 simpll2 1099 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑘 ∈ ω)
115 simpll3 1100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
116 simpr1 1065 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → (𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘))
117105, 69, 70, 107, 109, 111, 112, 113, 114, 115, 116mreexexlem4d 16228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))
118117ex 450 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) → (((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
119118expr 642 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)) → (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋) → (((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
120103, 119ralrimi 2951 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)) → ∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
121120ex 450 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) → (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) → ∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
12296, 121ralrimi 2951 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
12391, 122alrimi 2080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
1241233exp 1261 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ω → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))))
125124com12 32 . . . . 5 (𝑘 ∈ ω → (𝜑 → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))))
126125a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))))
12743, 51, 59, 67, 87, 126finds 7039 . . 3 (((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∈ ω → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
12835, 127mpcom 38 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
1292, 3, 4, 5, 6, 26, 128mreexexlemd 16225 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑞 ∧ (𝑞𝐻) ∈ 𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036  ∀wal 1478   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  Vcvv 3186   ∖ cdif 3552   ∪ cun 3553   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   class class class wbr 4613  Ord word 5681  suc csuc 5684  ‘cfv 5847  ωcom 7012   ≈ cen 7896  Fincfn 7899  cardccrd 8705  Moorecmre 16163  mrClscmrc 16164  mrIndcmri 16165 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-ac2 9229 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-ac 8883  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-mri 16169 This theorem is referenced by: (None)
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