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Theorem mreexexdOLD 16230
Description: Obsolete proof of mreexexd 16229 as of 2-Jun-2021. Exchange-type theorem. In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if 𝐹 and 𝐺 are disjoint from 𝐻, (𝐹𝐻) is independent, 𝐹 is contained in the closure of (𝐺𝐻), and either 𝐹 or 𝐺 is finite, then there is a subset 𝑞 of 𝐺 equinumerous to 𝐹 such that (𝑞𝐻) is independent. This implies the case of Proposition 4.2.1 in [FaureFrolicher] p. 86 where either (𝐴𝐵) or (𝐵𝐴) is finite. The theorem is proven by induction using mreexexlem3d 16227 for the base case and mreexexlem4d 16228 for the induction step. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexexlem2d.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexexlem2d.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexexlem2d.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexexlem2d.5 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
mreexexlem2d.6 (𝜑𝐺 ⊆ (𝑋𝐻))
mreexexlem2d.7 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
mreexexlem2d.8 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
mreexexd.9 (𝜑 → (𝐹 ∈ Fin ∨ 𝐺 ∈ Fin))
Assertion
Ref Expression
mreexexdOLD (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑞 ∧ (𝑞𝐻) ∈ 𝐼))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑞   𝐼,𝑞   𝐻,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠,𝑞)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑁(𝑞)   𝑋(𝑞)

Proof of Theorem mreexexdOLD
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑙 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexexlem2d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
21elfvexd 6179 . 2 (𝜑𝑋 ∈ V)
3 mreexexlem2d.5 . 2 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
4 mreexexlem2d.6 . 2 (𝜑𝐺 ⊆ (𝑋𝐻))
5 mreexexlem2d.7 . 2 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
6 mreexexlem2d.8 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
7 cardon 8714 . . . . 5 (card‘𝐹) ∈ On
87onordi 5791 . . . 4 Ord (card‘𝐹)
9 cardon 8714 . . . . 5 (card‘𝐺) ∈ On
109onordi 5791 . . . 4 Ord (card‘𝐺)
11 ordtri2or3 5783 . . . 4 ((Ord (card‘𝐹) ∧ Ord (card‘𝐺)) → ((card‘𝐹) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ (card‘𝐺) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))
128, 10, 11mp2an 707 . . 3 ((card‘𝐹) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ (card‘𝐺) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)))
133difss2d 3718 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑋)
142, 13ssexd 4765 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ V)
1514cardidd 9315 . . . . . 6 (𝜑 → (card‘𝐹) ≈ 𝐹)
1615ensymd 7951 . . . . 5 (𝜑𝐹 ≈ (card‘𝐹))
17 breq2 4617 . . . . 5 ((card‘𝐹) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (𝐹 ≈ (card‘𝐹) ↔ 𝐹 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))
1816, 17syl5ibcom 235 . . . 4 (𝜑 → ((card‘𝐹) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → 𝐹 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))
194difss2d 3718 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝑋)
202, 19ssexd 4765 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ V)
2120cardidd 9315 . . . . . 6 (𝜑 → (card‘𝐺) ≈ 𝐺)
2221ensymd 7951 . . . . 5 (𝜑𝐺 ≈ (card‘𝐺))
23 breq2 4617 . . . . 5 ((card‘𝐺) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (𝐺 ≈ (card‘𝐺) ↔ 𝐺 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))
2422, 23syl5ibcom 235 . . . 4 (𝜑 → ((card‘𝐺) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → 𝐺 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))
2518, 24orim12d 882 . . 3 (𝜑 → (((card‘𝐹) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ (card‘𝐺) = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) → (𝐹 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝐺 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)))))
2612, 25mpi 20 . 2 (𝜑 → (𝐹 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝐺 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))
27 mreexexd.9 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ Fin ∨ 𝐺 ∈ Fin))
28 ficardom 8731 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Fin → (card‘𝐹) ∈ ω)
29 ficardom 8731 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Fin → (card‘𝐺) ∈ ω)
3028, 29orim12i 538 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Fin ∨ 𝐺 ∈ Fin) → ((card‘𝐹) ∈ ω ∨ (card‘𝐺) ∈ ω))
3127, 30syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((card‘𝐹) ∈ ω ∨ (card‘𝐺) ∈ ω))
32 ordom 7021 . . . . 5 Ord ω
33 ordelinel 5784 . . . . 5 ((Ord (card‘𝐹) ∧ Ord (card‘𝐺) ∧ Ord ω) → (((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∈ ω ↔ ((card‘𝐹) ∈ ω ∨ (card‘𝐺) ∈ ω)))
348, 10, 32, 33mp3an 1421 . . . 4 (((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∈ ω ↔ ((card‘𝐹) ∈ ω ∨ (card‘𝐺) ∈ ω))
3531, 34sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∈ ω)
36 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = ∅ → (𝑓𝑙𝑓 ≈ ∅))
37 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = ∅ → (𝑔𝑙𝑔 ≈ ∅))
3836, 37orbi12d 745 . . . . . . . . 9 (𝑙 = ∅ → ((𝑓𝑙𝑔𝑙) ↔ (𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅)))
39383anbi1d 1400 . . . . . . . 8 (𝑙 = ∅ → (((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) ↔ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)))
4039imbi1d 331 . . . . . . 7 (𝑙 = ∅ → ((((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ (((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
41402ralbidv 2983 . . . . . 6 (𝑙 = ∅ → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
4241albidv 1846 . . . . 5 (𝑙 = ∅ → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
4342imbi2d 330 . . . 4 (𝑙 = ∅ → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))))
44 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (𝑓𝑙𝑓𝑘))
45 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (𝑔𝑙𝑔𝑘))
4644, 45orbi12d 745 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑘 → ((𝑓𝑙𝑔𝑙) ↔ (𝑓𝑘𝑔𝑘)))
47463anbi1d 1400 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑘 → (((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) ↔ ((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)))
4847imbi1d 331 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑘 → ((((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ (((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
49482ralbidv 2983 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑘 → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
5049albidv 1846 . . . . 5 (𝑙 = 𝑘 → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
5150imbi2d 330 . . . 4 (𝑙 = 𝑘 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))))
52 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = suc 𝑘 → (𝑓𝑙𝑓 ≈ suc 𝑘))
53 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = suc 𝑘 → (𝑔𝑙𝑔 ≈ suc 𝑘))
5452, 53orbi12d 745 . . . . . . . . 9 (𝑙 = suc 𝑘 → ((𝑓𝑙𝑔𝑙) ↔ (𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘)))
55543anbi1d 1400 . . . . . . . 8 (𝑙 = suc 𝑘 → (((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) ↔ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)))
5655imbi1d 331 . . . . . . 7 (𝑙 = suc 𝑘 → ((((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ (((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
57562ralbidv 2983 . . . . . 6 (𝑙 = suc 𝑘 → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
5857albidv 1846 . . . . 5 (𝑙 = suc 𝑘 → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
5958imbi2d 330 . . . 4 (𝑙 = suc 𝑘 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))))
60 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (𝑓𝑙𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))
61 breq2 4617 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (𝑔𝑙𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))))
6260, 61orbi12d 745 . . . . . . . . 9 (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → ((𝑓𝑙𝑔𝑙) ↔ (𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)))))
63623anbi1d 1400 . . . . . . . 8 (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) ↔ ((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)))
6463imbi1d 331 . . . . . . 7 (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → ((((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ (((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
65642ralbidv 2983 . . . . . 6 (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
6665albidv 1846 . . . . 5 (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) ↔ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
6766imbi2d 330 . . . 4 (𝑙 = ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑙𝑔𝑙) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))))
681ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
69 mreexexlem2d.2 . . . . . . . 8 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
70 mreexexlem2d.3 . . . . . . . 8 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
71 mreexexlem2d.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
7271ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
73 simplrl 799 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋))
7473elpwid 4141 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ⊆ (𝑋))
75 simplrr 800 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))
7675elpwid 4141 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑔 ⊆ (𝑋))
77 simpr2 1066 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)))
78 simpr3 1067 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → (𝑓) ∈ 𝐼)
79 simpr1 1065 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → (𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅))
80 en0 7963 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ≈ ∅ ↔ 𝑓 = ∅)
81 en0 7963 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ≈ ∅ ↔ 𝑔 = ∅)
8280, 81orbi12i 543 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ↔ (𝑓 = ∅ ∨ 𝑔 = ∅))
8379, 82sylib 208 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → (𝑓 = ∅ ∨ 𝑔 = ∅))
8468, 69, 70, 72, 74, 76, 77, 78, 83mreexexlem3d 16227 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))
8584ex 450 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) → (((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
8685ralrimivva 2965 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
8786alrimiv 1852 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ∅ ∨ 𝑔 ≈ ∅) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
88 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝜑
89 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ ω
90 nfa1 2025 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))
9188, 89, 90nf3an 1828 . . . . . . . 8 (𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
92 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑓𝜑
93 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑓 𝑘 ∈ ω
94 nfra1 2936 . . . . . . . . . . 11 𝑓𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))
9594nfal 2150 . . . . . . . . . 10 𝑓𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))
9692, 93, 95nf3an 1828 . . . . . . . . 9 𝑓(𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
97 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . 13 𝑔𝜑
98 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . 13 𝑔 𝑘 ∈ ω
99 nfra2 2941 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑔𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))
10099nfal 2150 . . . . . . . . . . . . 13 𝑔𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))
10197, 98, 100nf3an 1828 . . . . . . . . . . . 12 𝑔(𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
102 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑔 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)
103101, 102nfan 1825 . . . . . . . . . . 11 𝑔((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋))
10413ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
105104ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
106713ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
107106ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
108 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋))
109108elpwid 4141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ⊆ (𝑋))
110 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))
111110elpwid 4141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑔 ⊆ (𝑋))
112 simpr2 1066 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)))
113 simpr3 1067 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → (𝑓) ∈ 𝐼)
114 simpll2 1099 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → 𝑘 ∈ ω)
115 simpll3 1100 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
116 simpr1 1065 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → (𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘))
117105, 69, 70, 107, 109, 111, 112, 113, 114, 115, 116mreexexlem4d 16228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) ∧ ((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))
118117ex 450 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋))) → (((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
119118expr 642 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)) → (𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋) → (((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
120103, 119ralrimi 2951 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) ∧ 𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)) → ∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
121120ex 450 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) → (𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋) → ∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
12296, 121ralrimi 2951 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
12391, 122alrimi 2080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ω ∧ ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
1241233exp 1261 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ ω → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))))
125124com12 32 . . . . 5 (𝑘 ∈ ω → (𝜑 → (∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)) → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))))
126125a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ω → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓𝑘𝑔𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))) → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ suc 𝑘𝑔 ≈ suc 𝑘) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))))
12743, 51, 59, 67, 87, 126finds 7039 . . 3 (((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∈ ω → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼))))
12835, 127mpcom 38 . 2 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝒫 (𝑋)∀𝑔 ∈ 𝒫 (𝑋)(((𝑓 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺)) ∨ 𝑔 ≈ ((card‘𝐹) ∩ (card‘𝐺))) ∧ 𝑓 ⊆ (𝑁‘(𝑔)) ∧ (𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑔(𝑓𝑖 ∧ (𝑖) ∈ 𝐼)))
1292, 3, 4, 5, 6, 26, 128mreexexlemd 16225 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑞 ∧ (𝑞𝐻) ∈ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   class class class wbr 4613  Ord word 5681  suc csuc 5684  cfv 5847  ωcom 7012  cen 7896  Fincfn 7899  cardccrd 8705  Moorecmre 16163  mrClscmrc 16164  mrIndcmri 16165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-ac2 9229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-ac 8883  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-mri 16169
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