MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexexlem3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreexexlem3d 16234
Description: Base case of the induction in mreexexd 16236. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexexlem2d.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexexlem2d.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexexlem2d.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexexlem2d.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexexlem2d.5 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
mreexexlem2d.6 (𝜑𝐺 ⊆ (𝑋𝐻))
mreexexlem2d.7 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
mreexexlem2d.8 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
mreexexlem3d.9 (𝜑 → (𝐹 = ∅ ∨ 𝐺 = ∅))
Assertion
Ref Expression
mreexexlem3d (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐻   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑠)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑁(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑖,𝑠)

Proof of Theorem mreexexlem3d
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐹 = ∅) → 𝐹 = ∅)
2 mreexexlem2d.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
32adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4 mreexexlem2d.2 . . . . . . . . 9 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5 mreexexlem2d.3 . . . . . . . . 9 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6 mreexexlem2d.7 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
76adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑁‘(𝐺𝐻)))
8 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐺 = ∅)
98uneq1d 3749 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐺𝐻) = (∅ ∪ 𝐻))
10 uncom 3740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∪ ∅) = (∅ ∪ 𝐻)
11 un0 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∪ ∅) = 𝐻
1210, 11eqtr3i 2645 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∪ 𝐻) = 𝐻
139, 12syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐺𝐻) = 𝐻)
1413fveq2d 6157 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝑁‘(𝐺𝐻)) = (𝑁𝐻))
157, 14sseqtrd 3625 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑁𝐻))
16 mreexexlem2d.8 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)
185, 3, 17mrissd 16224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) ⊆ 𝑋)
1918unssbd 3774 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐻𝑋)
203, 4, 19mrcssidd 16213 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐻 ⊆ (𝑁𝐻))
2115, 20unssd 3772 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) ⊆ (𝑁𝐻))
22 ssun2 3760 . . . . . . . . . 10 𝐻 ⊆ (𝐹𝐻)
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐻 ⊆ (𝐹𝐻))
243, 4, 5, 21, 23, 17mrissmrcd 16228 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐺 = ∅) → (𝐹𝐻) = 𝐻)
25 ssequn1 3766 . . . . . . . 8 (𝐹𝐻 ↔ (𝐹𝐻) = 𝐻)
2624, 25sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹𝐻)
27 mreexexlem2d.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
2827adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝑋𝐻))
2926, 28ssind 3820 . . . . . 6 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ (𝐻 ∩ (𝑋𝐻)))
30 disjdif 4017 . . . . . 6 (𝐻 ∩ (𝑋𝐻)) = ∅
3129, 30syl6sseq 3635 . . . . 5 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 ⊆ ∅)
32 ss0b 3950 . . . . 5 (𝐹 ⊆ ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
3331, 32sylib 208 . . . 4 ((𝜑𝐺 = ∅) → 𝐹 = ∅)
34 mreexexlem3d.9 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 = ∅ ∨ 𝐺 = ∅))
351, 33, 34mpjaodan 826 . . 3 (𝜑𝐹 = ∅)
36 0elpw 4799 . . 3 ∅ ∈ 𝒫 𝐺
3735, 36syl6eqel 2706 . 2 (𝜑𝐹 ∈ 𝒫 𝐺)
382elfvexd 6184 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ V)
3927difss2d 3723 . . . 4 (𝜑𝐹𝑋)
4038, 39ssexd 4770 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
41 enrefg 7938 . . 3 (𝐹 ∈ V → 𝐹𝐹)
4240, 41syl 17 . 2 (𝜑𝐹𝐹)
43 breq2 4622 . . . 4 (𝑖 = 𝐹 → (𝐹𝑖𝐹𝐹))
44 uneq1 3743 . . . . 5 (𝑖 = 𝐹 → (𝑖𝐻) = (𝐹𝐻))
4544eleq1d 2683 . . . 4 (𝑖 = 𝐹 → ((𝑖𝐻) ∈ 𝐼 ↔ (𝐹𝐻) ∈ 𝐼))
4643, 45anbi12d 746 . . 3 (𝑖 = 𝐹 → ((𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼) ↔ (𝐹𝐹 ∧ (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)))
4746rspcev 3298 . 2 ((𝐹 ∈ 𝒫 𝐺 ∧ (𝐹𝐹 ∧ (𝐹𝐻) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼))
4837, 42, 16, 47syl12anc 1321 1 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝐺(𝐹𝑖 ∧ (𝑖𝐻) ∈ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3189  cdif 3556  cun 3557  cin 3558  wss 3559  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153   class class class wbr 4618  cfv 5852  cen 7903  Moorecmre 16170  mrClscmrc 16171  mrIndcmri 16172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-en 7907  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-mri 16176
This theorem is referenced by:  mreexexlem4d  16235  mreexexd  16236  mreexexdOLD  16237
  Copyright terms: Public domain W3C validator