MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreintcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreintcl 16176
Description: A nonempty collection of closed sets has a closed intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mreintcl ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝐶)

Proof of Theorem mreintcl
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpw2g 4787 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐶𝑆𝐶))
21biimpar 502 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐶)
323adant3 1079 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐶)
4 ismre 16171 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
54simp3bi 1076 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))
653ad2ant1 1080 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶))
7 simp3 1061 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
8 neeq1 2852 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ≠ ∅ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
9 inteq 4443 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 𝑠 = 𝑆)
109eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → ( 𝑠𝐶 𝑆𝐶))
118, 10imbi12d 334 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶) ↔ (𝑆 ≠ ∅ → 𝑆𝐶)))
1211rspcva 3293 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)) → (𝑆 ≠ ∅ → 𝑆𝐶))
13123impia 1258 . 2 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝐶)
143, 6, 7, 13syl3anc 1323 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130   cint 4440  cfv 5847  Moorecmre 16163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-mre 16167
This theorem is referenced by:  mreiincl  16177  mrerintcl  16178  mreincl  16180  mremre  16185  submre  16186  mrcflem  16187  mrelatglb  17105  mreclatBAD  17108
  Copyright terms: Public domain W3C validator