Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrelatglb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrelatglb 17231
 Description: Greatest lower bounds in a Moore space are realized by intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mreclat.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatglb.g 𝐺 = (glb‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
mrelatglb ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → (𝐺𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem mrelatglb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . 2 (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2 mreclat.i . . . 4 𝐼 = (toInc‘𝐶)
32ipobas 17202 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
433ad2ant1 1102 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
5 mrelatglb.g . . 3 𝐺 = (glb‘𝐼)
65a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝐺 = (glb‘𝐼))
72ipopos 17207 . . 3 𝐼 ∈ Poset
87a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝐼 ∈ Poset)
9 simp2 1082 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝑈𝐶)
10 mreintcl 16302 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝑈𝐶)
11 intss1 4524 . . . 4 (𝑥𝑈 𝑈𝑥)
1211adantl 481 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈𝑥)
13 simpl1 1084 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
1410adantr 480 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈𝐶)
159sselda 3636 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
162, 1ipole 17205 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑥𝐶) → ( 𝑈(le‘𝐼)𝑥 𝑈𝑥))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1366 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → ( 𝑈(le‘𝐼)𝑥 𝑈𝑥))
1812, 17mpbird 247 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈(le‘𝐼)𝑥)
19 simpll1 1120 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
20 simplr 807 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑦𝐶)
21 simpl2 1085 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈𝐶)
2221sselda 3636 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
232, 1ipole 17205 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦𝐶𝑥𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥𝑦𝑥))
2419, 20, 22, 23syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥𝑦𝑥))
2524biimpd 219 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥𝑦𝑥))
2625ralimdva 2991 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) → (∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥 → ∀𝑥𝑈 𝑦𝑥))
27263impia 1280 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → ∀𝑥𝑈 𝑦𝑥)
28 ssint 4525 . . . 4 (𝑦 𝑈 ↔ ∀𝑥𝑈 𝑦𝑥)
2927, 28sylibr 224 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦 𝑈)
30 simp11 1111 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
31 simp2 1082 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦𝐶)
32103ad2ant1 1102 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑈𝐶)
332, 1ipole 17205 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦𝐶 𝑈𝐶) → (𝑦(le‘𝐼) 𝑈𝑦 𝑈))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1366 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → (𝑦(le‘𝐼) 𝑈𝑦 𝑈))
3529, 34mpbird 247 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦(le‘𝐼) 𝑈)
361, 4, 6, 8, 9, 10, 18, 35posglbd 17197 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → (𝐺𝑈) = 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  ∩ cint 4507   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  Moorecmre 16289  Posetcpo 16987  glbcglb 16990  toInccipo 17198 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ocomp 16010  df-mre 16293  df-preset 16975  df-poset 16993  df-lub 17021  df-glb 17022  df-odu 17176  df-ipo 17199 This theorem is referenced by:  mreclatBAD  17234
 Copyright terms: Public domain W3C validator