MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrelatglb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrelatglb 17231
Description: Greatest lower bounds in a Moore space are realized by intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mreclat.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatglb.g 𝐺 = (glb‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
mrelatglb ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → (𝐺𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem mrelatglb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . 2 (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2 mreclat.i . . . 4 𝐼 = (toInc‘𝐶)
32ipobas 17202 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
433ad2ant1 1102 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
5 mrelatglb.g . . 3 𝐺 = (glb‘𝐼)
65a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝐺 = (glb‘𝐼))
72ipopos 17207 . . 3 𝐼 ∈ Poset
87a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝐼 ∈ Poset)
9 simp2 1082 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝑈𝐶)
10 mreintcl 16302 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝑈𝐶)
11 intss1 4524 . . . 4 (𝑥𝑈 𝑈𝑥)
1211adantl 481 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈𝑥)
13 simpl1 1084 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
1410adantr 480 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈𝐶)
159sselda 3636 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
162, 1ipole 17205 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑥𝐶) → ( 𝑈(le‘𝐼)𝑥 𝑈𝑥))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1366 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → ( 𝑈(le‘𝐼)𝑥 𝑈𝑥))
1812, 17mpbird 247 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈(le‘𝐼)𝑥)
19 simpll1 1120 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
20 simplr 807 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑦𝐶)
21 simpl2 1085 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈𝐶)
2221sselda 3636 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
232, 1ipole 17205 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦𝐶𝑥𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥𝑦𝑥))
2419, 20, 22, 23syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥𝑦𝑥))
2524biimpd 219 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥𝑦𝑥))
2625ralimdva 2991 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) → (∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥 → ∀𝑥𝑈 𝑦𝑥))
27263impia 1280 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → ∀𝑥𝑈 𝑦𝑥)
28 ssint 4525 . . . 4 (𝑦 𝑈 ↔ ∀𝑥𝑈 𝑦𝑥)
2927, 28sylibr 224 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦 𝑈)
30 simp11 1111 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
31 simp2 1082 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦𝐶)
32103ad2ant1 1102 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑈𝐶)
332, 1ipole 17205 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦𝐶 𝑈𝐶) → (𝑦(le‘𝐼) 𝑈𝑦 𝑈))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1366 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → (𝑦(le‘𝐼) 𝑈𝑦 𝑈))
3529, 34mpbird 247 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦(le‘𝐼) 𝑈)
361, 4, 6, 8, 9, 10, 18, 35posglbd 17197 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → (𝐺𝑈) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wss 3607  c0 3948   cint 4507   class class class wbr 4685  cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  Moorecmre 16289  Posetcpo 16987  glbcglb 16990  toInccipo 17198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ocomp 16010  df-mre 16293  df-preset 16975  df-poset 16993  df-lub 17021  df-glb 17022  df-odu 17176  df-ipo 17199
This theorem is referenced by:  mreclatBAD  17234
  Copyright terms: Public domain W3C validator