Theorem mrelatglb0 17789

Description: The empty intersection in a Moore space is realized by the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mrelatglb0	⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝐺‘∅) = 𝑋)

Proof of Theorem mrelatglb0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. 2 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2		mreclat.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
3	2	ipobas 17759	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
4		mrelatglb.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐺 = (glb‘𝐼))
6	2	ipopos 17764	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐼 ∈ Poset)
8		0ss 4350	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐶
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → ∅ ⊆ 𝐶)
10		mre1cl 16859	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
11		ral0 4456	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑋(le‘𝐼)𝑥
12	11	rspec 3207	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → 𝑋(le‘𝐼)𝑥)
13	12	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ∅) → 𝑋(le‘𝐼)𝑥)
14		mress 16858	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
15	10	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝐶)
16	2, 1	ipole 17762	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋))
17	15, 16	mpd3an3 1458	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)𝑋 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑋))
18	14, 17	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦(le‘𝐼)𝑋)
19	18	3adant3 1128	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦(le‘𝐼)𝑋)
20	1, 3, 5, 7, 9, 10, 13, 19	posglbd 17754	1 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝐺‘∅) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  lecple 16566  Moorecmre 16847  Posetcpo 17544  glbcglb 17547  toInccipo 17755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ocomp 16580  df-mre 16851  df-proset 17532  df-poset 17550  df-lub 17578  df-glb 17579  df-odu 17733  df-ipo 17756

This theorem is referenced by:  mreclatBAD  17791