MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrelatlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrelatlub 17118
Description: Least upper bounds in a Moore space are realized by the closure of the union. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mreclat.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatlub.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
mrelatlub.l 𝐿 = (lub‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
mrelatlub ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → (𝐿𝑈) = (𝐹 𝑈))

Proof of Theorem mrelatlub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . 2 (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2 mreclat.i . . . 4 𝐼 = (toInc‘𝐶)
32ipobas 17087 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
43adantr 481 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
5 mrelatlub.l . . 3 𝐿 = (lub‘𝐼)
65a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐿 = (lub‘𝐼))
72ipopos 17092 . . 3 𝐼 ∈ Poset
87a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐼 ∈ Poset)
9 simpr 477 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈𝐶)
10 uniss 4429 . . . . 5 (𝑈𝐶 𝑈 𝐶)
1110adantl 482 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈 𝐶)
12 mreuni 16192 . . . . 5 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = 𝑋)
1312adantr 481 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐶 = 𝑋)
1411, 13sseqtrd 3625 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈𝑋)
15 mrelatlub.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
1615mrccl 16203 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
1714, 16syldan 487 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
18 elssuni 4438 . . . 4 (𝑥𝑈𝑥 𝑈)
1915mrcssid 16209 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝐹 𝑈))
2014, 19syldan 487 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈 ⊆ (𝐹 𝑈))
2118, 20sylan9ssr 3601 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ⊆ (𝐹 𝑈))
22 simpll 789 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
239sselda 3587 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
2417adantr 481 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
252, 1ipole 17090 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶 ∧ (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶) → (𝑥(le‘𝐼)(𝐹 𝑈) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐹 𝑈)))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1323 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(le‘𝐼)(𝐹 𝑈) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐹 𝑈)))
2721, 26mpbird 247 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥(le‘𝐼)(𝐹 𝑈))
28 simp1l 1083 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
29 simplll 797 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
30 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈𝐶)
3130sselda 3587 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
32 simplr 791 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑦𝐶)
332, 1ipole 17090 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(le‘𝐼)𝑦𝑥𝑦))
3429, 31, 32, 33syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(le‘𝐼)𝑦𝑥𝑦))
3534biimpd 219 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(le‘𝐼)𝑦𝑥𝑦))
3635ralimdva 2957 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) → (∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦 → ∀𝑥𝑈 𝑥𝑦))
37363impia 1258 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → ∀𝑥𝑈 𝑥𝑦)
38 unissb 4440 . . . . 5 ( 𝑈𝑦 ↔ ∀𝑥𝑈 𝑥𝑦)
3937, 38sylibr 224 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → 𝑈𝑦)
40 simp2 1060 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → 𝑦𝐶)
4115mrcsscl 16212 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑦𝑦𝐶) → (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦)
4228, 39, 40, 41syl3anc 1323 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦)
43173ad2ant1 1080 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
442, 1ipole 17090 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶𝑦𝐶) → ((𝐹 𝑈)(le‘𝐼)𝑦 ↔ (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦))
4528, 43, 40, 44syl3anc 1323 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → ((𝐹 𝑈)(le‘𝐼)𝑦 ↔ (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦))
4642, 45mpbird 247 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → (𝐹 𝑈)(le‘𝐼)𝑦)
471, 4, 6, 8, 9, 17, 27, 46poslubdg 17081 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → (𝐿𝑈) = (𝐹 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wss 3559   cuni 4407   class class class wbr 4618  cfv 5852  Basecbs 15792  lecple 15880  Moorecmre 16174  mrClscmrc 16175  Posetcpo 16872  lubclub 16874  toInccipo 17083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-fz 12277  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ocomp 15895  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-preset 16860  df-poset 16878  df-lub 16906  df-ipo 17084
This theorem is referenced by:  mreclatBAD  17119
  Copyright terms: Public domain W3C validator