MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrelatlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrelatlub 17784
Description: Least upper bounds in a Moore space are realized by the closure of the union. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mreclat.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatlub.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
mrelatlub.l 𝐿 = (lub‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
mrelatlub ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → (𝐿𝑈) = (𝐹 𝑈))

Proof of Theorem mrelatlub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . 2 (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2 mreclat.i . . . 4 𝐼 = (toInc‘𝐶)
32ipobas 17753 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
43adantr 481 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
5 mrelatlub.l . . 3 𝐿 = (lub‘𝐼)
65a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐿 = (lub‘𝐼))
72ipopos 17758 . . 3 𝐼 ∈ Poset
87a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐼 ∈ Poset)
9 simpr 485 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈𝐶)
10 uniss 4851 . . . . 5 (𝑈𝐶 𝑈 𝐶)
1110adantl 482 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈 𝐶)
12 mreuni 16859 . . . . 5 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = 𝑋)
1312adantr 481 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝐶 = 𝑋)
1411, 13sseqtrd 4004 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈𝑋)
15 mrelatlub.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
1615mrccl 16870 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
1714, 16syldan 591 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
18 elssuni 4859 . . . 4 (𝑥𝑈𝑥 𝑈)
1915mrcssid 16876 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝑈 ⊆ (𝐹 𝑈))
2014, 19syldan 591 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈 ⊆ (𝐹 𝑈))
2118, 20sylan9ssr 3978 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ⊆ (𝐹 𝑈))
22 simpll 763 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
239sselda 3964 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
2417adantr 481 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
252, 1ipole 17756 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶 ∧ (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶) → (𝑥(le‘𝐼)(𝐹 𝑈) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐹 𝑈)))
2622, 23, 24, 25syl3anc 1363 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(le‘𝐼)(𝐹 𝑈) ↔ 𝑥 ⊆ (𝐹 𝑈)))
2721, 26mpbird 258 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥(le‘𝐼)(𝐹 𝑈))
28 simp1l 1189 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
29 simplll 771 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
30 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈𝐶)
3130sselda 3964 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
32 simplr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑦𝐶)
332, 1ipole 17756 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(le‘𝐼)𝑦𝑥𝑦))
3429, 31, 32, 33syl3anc 1363 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(le‘𝐼)𝑦𝑥𝑦))
3534biimpd 230 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑥(le‘𝐼)𝑦𝑥𝑦))
3635ralimdva 3174 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶) → (∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦 → ∀𝑥𝑈 𝑥𝑦))
37363impia 1109 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → ∀𝑥𝑈 𝑥𝑦)
38 unissb 4861 . . . . 5 ( 𝑈𝑦 ↔ ∀𝑥𝑈 𝑥𝑦)
3937, 38sylibr 235 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → 𝑈𝑦)
40 simp2 1129 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → 𝑦𝐶)
4115mrcsscl 16879 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑦𝑦𝐶) → (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦)
4228, 39, 40, 41syl3anc 1363 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦)
43173ad2ant1 1125 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶)
442, 1ipole 17756 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ (𝐹 𝑈) ∈ 𝐶𝑦𝐶) → ((𝐹 𝑈)(le‘𝐼)𝑦 ↔ (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦))
4528, 43, 40, 44syl3anc 1363 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → ((𝐹 𝑈)(le‘𝐼)𝑦 ↔ (𝐹 𝑈) ⊆ 𝑦))
4642, 45mpbird 258 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑥(le‘𝐼)𝑦) → (𝐹 𝑈)(le‘𝐼)𝑦)
471, 4, 6, 8, 9, 17, 27, 46poslubdg 17747 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶) → (𝐿𝑈) = (𝐹 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wss 3933   cuni 4830   class class class wbr 5057  cfv 6348  Basecbs 16471  lecple 16560  Moorecmre 16841  mrClscmrc 16842  Posetcpo 17538  lubclub 17540  toInccipo 17749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ocomp 16574  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-proset 17526  df-poset 17544  df-lub 17572  df-ipo 17750
This theorem is referenced by:  mreclatBAD  17785
  Copyright terms: Public domain W3C validator