MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mress Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mress 16852
Description: A Moore-closed subset is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mress ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆𝑋)

Proof of Theorem mress
StepHypRef Expression
1 mresspw 16851 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
21sselda 3964 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑋)
32elpwid 4549 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑆𝐶) → 𝑆𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  wss 3933  𝒫 cpw 4535  cfv 6348  Moorecmre 16841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-mre 16845
This theorem is referenced by:  mreriincl  16857  mrcid  16872  mrcsscl  16879  submrc  16887  acsfiel  16913  mrelatglb0  17783  isnacs3  39185
  Copyright terms: Public domain W3C validator