MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mresspw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mresspw 16184
Description: A Moore collection is a subset of the power of the base set; each closed subset of the system is actually a subset of the base. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
mresspw (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)

Proof of Theorem mresspw
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismre 16182 . 2 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ↔ (𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋𝐶 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐶(𝑠 ≠ ∅ → 𝑠𝐶)))
21simp1bi 1074 1 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wss 3559  c0 3896  𝒫 cpw 4135   cint 4445  cfv 5852  Moorecmre 16174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fv 5860  df-mre 16178
This theorem is referenced by:  mress  16185  mrerintcl  16189  mreuni  16192  mremre  16196  isacs2  16246  mreacs  16251  isacs3lem  17098  dmdprdd  18330  dprdfeq0  18353  dprdss  18360  dprdz  18361  subgdmdprd  18365  subgdprd  18366  dprd2dlem1  18372  dprd2da  18373  dmdprdsplit2lem  18376  mretopd  20819  ismrc  36779
  Copyright terms: Public domain W3C validator