Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubcv 32654
Description: The value of a substituted singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubffval.c 𝐶 = (mCN‘𝑇)
mrsubffval.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubffval.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubffval.s 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mrsubcv ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑆𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))

Proof of Theorem mrsubcv
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1130 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → 𝑋 ∈ (𝐶𝑉))
21s1cld 13945 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (𝐶𝑉))
3 elun 4122 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ↔ (𝑋𝐶𝑋𝑉))
4 elfvex 6696 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (mCN‘𝑇) → 𝑇 ∈ V)
5 mrsubffval.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (mCN‘𝑇)
64, 5eleq2s 2928 . . . . . . . 8 (𝑋𝐶𝑇 ∈ V)
7 elfvex 6696 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (mVR‘𝑇) → 𝑇 ∈ V)
8 mrsubffval.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (mVR‘𝑇)
97, 8eleq2s 2928 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉𝑇 ∈ V)
106, 9jaoi 851 . . . . . . 7 ((𝑋𝐶𝑋𝑉) → 𝑇 ∈ V)
113, 10sylbi 218 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → 𝑇 ∈ V)
12113ad2ant3 1127 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → 𝑇 ∈ V)
13 mrsubffval.r . . . . . 6 𝑅 = (mREx‘𝑇)
145, 8, 13mrexval 32645 . . . . 5 (𝑇 ∈ V → 𝑅 = Word (𝐶𝑉))
1512, 14syl 17 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → 𝑅 = Word (𝐶𝑉))
162, 15eleqtrrd 2913 . . 3 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ 𝑅)
17 mrsubffval.s . . . 4 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
18 eqid 2818 . . . 4 (freeMnd‘(𝐶𝑉)) = (freeMnd‘(𝐶𝑉))
195, 8, 13, 17, 18mrsubval 32653 . . 3 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ 𝑅) → ((𝑆𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
2016, 19syld3an3 1401 . 2 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑆𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
21 simpl1 1183 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) → 𝐹:𝐴𝑅)
2221ffvelrnda 6843 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑅)
2315ad2antrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑅 = Word (𝐶𝑉))
2422, 23eleqtrd 2912 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ Word (𝐶𝑉))
25 simplr 765 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ ¬ 𝑣𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐶𝑉))
2625s1cld 13945 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ ¬ 𝑣𝐴) → ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word (𝐶𝑉))
2724, 26ifclda 4497 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) → if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩) ∈ Word (𝐶𝑉))
2827fmpttd 6871 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → (𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)):(𝐶𝑉)⟶Word (𝐶𝑉))
29 s1co 14183 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ (𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)):(𝐶𝑉)⟶Word (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋)”⟩)
301, 28, 29syl2anc 584 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋)”⟩)
31 eleq1 2897 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → (𝑣𝐴𝑋𝐴))
32 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑋))
33 s1eq 13942 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑋”⟩)
3431, 32, 33ifbieq12d 4490 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
35 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) = (𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))
36 fvex 6676 . . . . . . . 8 (𝐹𝑋) ∈ V
37 s1cli 13947 . . . . . . . . 9 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
3837elexi 3511 . . . . . . . 8 ⟨“𝑋”⟩ ∈ V
3936, 38ifex 4511 . . . . . . 7 if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩) ∈ V
4034, 35, 39fvmpt 6761 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
41403ad2ant3 1127 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
4241s1eqd 13943 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ⟨“((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋)”⟩ = ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩)
4330, 42eqtrd 2853 . . 3 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩)
4443oveq2d 7161 . 2 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩)) = ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩))
4528, 1ffvelrnd 6844 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋) ∈ Word (𝐶𝑉))
4641, 45eqeltrrd 2911 . . 3 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word (𝐶𝑉))
475fvexi 6677 . . . . . . 7 𝐶 ∈ V
488fvexi 6677 . . . . . . 7 𝑉 ∈ V
4947, 48unex 7458 . . . . . 6 (𝐶𝑉) ∈ V
50 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉)))
5118, 50frmdbas 18005 . . . . . 6 ((𝐶𝑉) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉))) = Word (𝐶𝑉))
5249, 51ax-mp 5 . . . . 5 (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉))) = Word (𝐶𝑉)
5352eqcomi 2827 . . . 4 Word (𝐶𝑉) = (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉)))
5453gsumws1 17990 . . 3 (if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word (𝐶𝑉) → ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
5546, 54syl 17 . 2 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
5620, 44, 553eqtrd 2857 1 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑆𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cun 3931  wss 3933  ifcif 4463  cmpt 5137  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Word cword 13849  ⟨“cs1 13937  Basecbs 16471   Σg cgsu 16702  freeMndcfrmd 18000  mCNcmcn 32604  mVRcmvar 32605  mRExcmrex 32610  mRSubstcmrsub 32614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-word 13850  df-s1 13938  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-frmd 18002  df-mrex 32630  df-mrsub 32634
This theorem is referenced by:  mrsubvr  32655  mrsubcn  32663
  Copyright terms: Public domain W3C validator