Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubcv 31706
 Description: The value of a substituted singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubffval.c 𝐶 = (mCN‘𝑇)
mrsubffval.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubffval.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubffval.s 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mrsubcv ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑆𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))

Proof of Theorem mrsubcv
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1132 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → 𝑋 ∈ (𝐶𝑉))
21s1cld 13565 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (𝐶𝑉))
3 elun 3888 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ↔ (𝑋𝐶𝑋𝑉))
4 elfvex 6374 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (mCN‘𝑇) → 𝑇 ∈ V)
5 mrsubffval.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (mCN‘𝑇)
64, 5eleq2s 2849 . . . . . . . 8 (𝑋𝐶𝑇 ∈ V)
7 elfvex 6374 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (mVR‘𝑇) → 𝑇 ∈ V)
8 mrsubffval.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (mVR‘𝑇)
97, 8eleq2s 2849 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉𝑇 ∈ V)
106, 9jaoi 393 . . . . . . 7 ((𝑋𝐶𝑋𝑉) → 𝑇 ∈ V)
113, 10sylbi 207 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → 𝑇 ∈ V)
12113ad2ant3 1129 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → 𝑇 ∈ V)
13 mrsubffval.r . . . . . 6 𝑅 = (mREx‘𝑇)
145, 8, 13mrexval 31697 . . . . 5 (𝑇 ∈ V → 𝑅 = Word (𝐶𝑉))
1512, 14syl 17 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → 𝑅 = Word (𝐶𝑉))
162, 15eleqtrrd 2834 . . 3 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ 𝑅)
17 mrsubffval.s . . . 4 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
18 eqid 2752 . . . 4 (freeMnd‘(𝐶𝑉)) = (freeMnd‘(𝐶𝑉))
195, 8, 13, 17, 18mrsubval 31705 . . 3 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ 𝑅) → ((𝑆𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
2016, 19syld3an3 1512 . 2 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑆𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
21 simpl1 1225 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) → 𝐹:𝐴𝑅)
2221ffvelrnda 6514 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑅)
2315ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑅 = Word (𝐶𝑉))
2422, 23eleqtrd 2833 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ Word (𝐶𝑉))
25 simplr 809 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ ¬ 𝑣𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐶𝑉))
2625s1cld 13565 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ ¬ 𝑣𝐴) → ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word (𝐶𝑉))
2724, 26ifclda 4256 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) → if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩) ∈ Word (𝐶𝑉))
28 eqid 2752 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) = (𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))
2927, 28fmptd 6540 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → (𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)):(𝐶𝑉)⟶Word (𝐶𝑉))
30 s1co 13771 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ (𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)):(𝐶𝑉)⟶Word (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋)”⟩)
311, 29, 30syl2anc 696 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋)”⟩)
32 eleq1 2819 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → (𝑣𝐴𝑋𝐴))
33 fveq2 6344 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑋))
34 s1eq 13562 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑋”⟩)
3532, 33, 34ifbieq12d 4249 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
36 fvex 6354 . . . . . . . 8 (𝐹𝑋) ∈ V
37 s1cli 13567 . . . . . . . . 9 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
3837elexi 3345 . . . . . . . 8 ⟨“𝑋”⟩ ∈ V
3936, 38ifex 4292 . . . . . . 7 if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩) ∈ V
4035, 28, 39fvmpt 6436 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
41403ad2ant3 1129 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
4241s1eqd 13563 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ⟨“((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋)”⟩ = ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩)
4331, 42eqtrd 2786 . . 3 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩)
4443oveq2d 6821 . 2 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩)) = ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩))
4529, 1ffvelrnd 6515 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋) ∈ Word (𝐶𝑉))
4641, 45eqeltrrd 2832 . . 3 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word (𝐶𝑉))
47 fvex 6354 . . . . . . . 8 (mCN‘𝑇) ∈ V
485, 47eqeltri 2827 . . . . . . 7 𝐶 ∈ V
49 fvex 6354 . . . . . . . 8 (mVR‘𝑇) ∈ V
508, 49eqeltri 2827 . . . . . . 7 𝑉 ∈ V
5148, 50unex 7113 . . . . . 6 (𝐶𝑉) ∈ V
52 eqid 2752 . . . . . . 7 (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉)))
5318, 52frmdbas 17582 . . . . . 6 ((𝐶𝑉) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉))) = Word (𝐶𝑉))
5451, 53ax-mp 5 . . . . 5 (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉))) = Word (𝐶𝑉)
5554eqcomi 2761 . . . 4 Word (𝐶𝑉) = (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉)))
5655gsumws1 17569 . . 3 (if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word (𝐶𝑉) → ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
5746, 56syl 17 . 2 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
5820, 44, 573eqtrd 2790 1 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑆𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  Vcvv 3332   ∪ cun 3705   ⊆ wss 3707  ifcif 4222   ↦ cmpt 4873   ∘ ccom 5262  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  Word cword 13469  ⟨“cs1 13472  Basecbs 16051   Σg cgsu 16295  freeMndcfrmd 17577  mCNcmcn 31656  mVRcmvar 31657  mRExcmrex 31662  mRSubstcmrsub 31666 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-hash 13304  df-word 13477  df-s1 13480  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-plusg 16148  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-frmd 17579  df-mrex 31682  df-mrsub 31686 This theorem is referenced by:  mrsubvr  31707  mrsubcn  31715
 Copyright terms: Public domain W3C validator