MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02 10061
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 9888 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 recn 9878 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3 ax-icn 9847 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
4 recn 9878 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
5 mulcl 9872 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 693 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
7 0cn 9884 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
8 adddi 9877 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
97, 8mp3an1 1402 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
102, 6, 9syl2an 492 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
11 mul02lem2 10060 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
12 mul12 10049 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
137, 3, 12mp3an12 1405 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℂ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
144, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
15 mul02lem2 10060 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · 𝑦) = 0)
1615oveq2d 6539 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (0 · 𝑦)) = (i · 0))
1714, 16eqtrd 2639 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · 0))
1811, 17oveqan12d 6542 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0)))
1910, 18eqtrd 2639 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0)))
20 cnre 9888 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
217, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦))
22 oveq2 6531 . . . . . . . . . 10 (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
2322eqeq1d 2607 . . . . . . . . 9 (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((0 · 0) = (0 + (i · 0)) ↔ (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0))))
2419, 23syl5ibrcom 235 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 + (i · 0))))
2524rexlimivv 3013 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 + (i · 0)))
2621, 25ax-mp 5 . . . . . 6 (0 · 0) = (0 + (i · 0))
27 0re 9892 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
28 mul02lem2 10060 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . 6 (0 · 0) = 0
3026, 29eqtr3i 2629 . . . . 5 (0 + (i · 0)) = 0
3119, 30syl6eq 2655 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
32 oveq2 6531 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
3332eqeq1d 2607 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((0 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
3431, 33syl5ibrcom 235 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0))
3534rexlimivv 3013 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0)
361, 35syl 17 1 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wrex 2892  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788  ici 9790   + caddc 9791   · cmul 9793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-ov 6526  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-ltxr 9931
This theorem is referenced by:  mul01  10062  cnegex2  10065  mul02i  10072  mul02d  10081  bcval5  12918  fsumconst  14306  demoivreALT  14712  nnnn0modprm0  15291  cnfldmulg  19539  itg2mulc  23233  dvcmulf  23427  coe0  23729  plymul0or  23753  sineq0  23990  jensen  24428  musumsum  24631  lgsne0  24773  brbtwn2  25499  ax5seglem4  25526  axeuclidlem  25556  axeuclid  25557  axcontlem2  25559  axcontlem4  25561  eulerpartlemb  29559  expgrowth  37355  dvcosax  38616
  Copyright terms: Public domain W3C validator