MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02 10174
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. Based on ideas by Eric Schmidt. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul02 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 9996 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
2 recn 9986 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3 ax-icn 9955 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
4 recn 9986 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
5 mulcl 9980 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 694 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
7 0cn 9992 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
8 adddi 9985 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
97, 8mp3an1 1408 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
102, 6, 9syl2an 494 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))))
11 mul02lem2 10173 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
12 mul12 10162 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
137, 3, 12mp3an12 1411 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℂ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
144, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · (0 · 𝑦)))
15 mul02lem2 10173 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · 𝑦) = 0)
1615oveq2d 6631 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℝ → (i · (0 · 𝑦)) = (i · 0))
1714, 16eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → (0 · (i · 𝑦)) = (i · 0))
1811, 17oveqan12d 6634 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 · 𝑥) + (0 · (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0)))
1910, 18eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0)))
20 cnre 9996 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)))
217, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦))
22 oveq2 6623 . . . . . . . . . 10 (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
2322eqeq1d 2623 . . . . . . . . 9 (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((0 · 0) = (0 + (i · 0)) ↔ (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = (0 + (i · 0))))
2419, 23syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 + (i · 0))))
2524rexlimivv 3031 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 0 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 0) = (0 + (i · 0)))
2621, 25ax-mp 5 . . . . . 6 (0 · 0) = (0 + (i · 0))
27 0re 10000 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
28 mul02lem2 10173 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . 6 (0 · 0) = 0
3026, 29eqtr3i 2645 . . . . 5 (0 + (i · 0)) = 0
3119, 30syl6eq 2671 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0)
32 oveq2 6623 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))))
3332eqeq1d 2623 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((0 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · (𝑥 + (i · 𝑦))) = 0))
3431, 33syl5ibrcom 237 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0))
3534rexlimivv 3031 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝐴 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (0 · 𝐴) = 0)
361, 35syl 17 1 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2909  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  ici 9898   + caddc 9899   · cmul 9901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039
This theorem is referenced by:  mul01  10175  cnegex2  10178  mul02i  10185  mul02d  10194  bcval5  13061  fsumconst  14469  demoivreALT  14875  nnnn0modprm0  15454  cnfldmulg  19718  itg2mulc  23454  dvcmulf  23648  coe0  23950  plymul0or  23974  sineq0  24211  jensen  24649  musumsum  24852  lgsne0  24994  brbtwn2  25719  ax5seglem4  25746  axeuclidlem  25776  axeuclid  25777  axcontlem2  25779  axcontlem4  25781  eulerpartlemb  30253  expgrowth  38055  dvcosax  39478
  Copyright terms: Public domain W3C validator