MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02d 10082
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mul02d (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)

Proof of Theorem mul02d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mul02 10062 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6524  cc 9787  0cc0 9789   · cmul 9794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-ov 6527  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-ltxr 9932
This theorem is referenced by:  mulneg1  10314  mulge0  10392  mul0or  10513  prodgt0  10714  un0mulcl  11171  mul2lt0rgt0  11762  mul2lt0bi  11765  lincmb01cmp  12139  iccf1o  12140  discr1  12814  discr  12815  hashxplem  13029  cshweqrep  13361  remul2  13661  immul2  13668  binomlem  14343  pwm1geoser  14382  geomulcvg  14389  ntrivcvgfvn0  14413  fprodeq0  14487  fprodeq0g  14507  0fallfac  14550  binomfallfaclem2  14553  efne0  14609  dvds0  14778  mulmoddvds  14832  pwp1fsum  14895  smumullem  14995  mulgcd  15046  bezoutr1  15063  lcmgcd  15101  qnumgt0  15239  pcexp  15345  vdwapun  15459  vdwlem1  15466  mulgnn0ass  17344  odmulg  17739  torsubg  18023  isabvd  18586  nn0srg  19578  rge0srg  19579  prmirredlem  19602  nmo0  22278  nmoeq0  22279  blcvx  22338  reparphti  22533  pcorevlem  22562  ipcau2  22759  rrxcph  22902  itg1addlem4  23186  itg1addlem5  23187  itg1mulc  23191  itg2mulc  23234  dvcmul  23427  dvmptcmul  23447  dvexp3  23459  dvef  23461  dveq0  23481  dv11cn  23482  ply1termlem  23677  plyeq0lem  23684  plypf1  23686  plyaddlem1  23687  plymullem1  23688  coeeulem  23698  coeidlem  23711  coeid3  23714  coemullem  23724  coemulhi  23728  coemulc  23729  dgrco  23749  vieta1lem2  23784  elqaalem2  23793  aalioulem3  23807  taylthlem2  23846  abelthlem6  23908  pilem2  23924  sinhalfpip  23962  sinhalfpim  23963  coshalfpip  23964  coshalfpim  23965  logtayl  24120  mulcxp  24145  cxpmul2  24149  cxpeq  24212  chordthmlem5  24277  cubic  24290  atans2  24372  atantayl2  24379  leibpi  24383  efrlim  24410  scvxcvx  24426  amgm  24431  ftalem5  24517  basellem2  24522  mumul  24621  muinv  24633  dchrn0  24689  dchrinvcl  24692  lgsdirnn0  24783  lgsdinn0  24784  lgsquad2lem2  24824  rpvmasumlem  24890  dchrisum0flblem1  24911  rpvmasum2  24915  ostth2lem2  25037  brbtwn2  25500  axsegconlem1  25512  axpaschlem  25535  axcontlem7  25565  axcontlem8  25566  nvz0  26698  ipasslem1  26873  hi01  27140  xrge0iifhom  29114  indsum  29215  eulerpartlemsv2  29550  eulerpartlems  29552  eulerpartlemsv3  29553  eulerpartlemgc  29554  eulerpartlemv  29556  eulerpartlemgs2  29572  sgnmul  29734  plymul02  29752  plymulx0  29753  subfacp1lem6  30224  cvxpcon  30281  cvxscon  30282  fwddifnp1  31245  pell1234qrne0  36235  jm2.19lem3  36376  jm2.25  36384  flcidc  36563  relexpmulg  36821  radcnvrat  37335  dvconstbi  37355  binomcxplemnn0  37370  sineq0ALT  37995  fperiodmullem  38258  fprod0  38464  dvsinax  38602  dvasinbx  38611  ioodvbdlimc1lem2  38623  ioodvbdlimc2lem  38625  dvnxpaek  38633  dvnmul  38634  itgsinexplem1  38646  dirkertrigeqlem2  38793  fourierdlem42  38843  fourierdlem83  38883  sqwvfoura  38922  fouriersw  38925  elaa2lem  38927  etransclem15  38943  etransclem24  38952  etransclem35  38963  etransclem46  38974  sigarcol  39503  sharhght  39504  fmtnofac2  39821  aacllem  42316
  Copyright terms: Public domain W3C validator