MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul02i 10210
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 23-Nov-1994.)
Hypothesis
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
mul02i (0 · 𝐴) = 0

Proof of Theorem mul02i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 mul02 10199 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 · 𝐴) = 0)
31, 2ax-mp 5 1 (0 · 𝐴) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1481  wcel 1988  (class class class)co 6635  cc 9919  0cc0 9921   · cmul 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064
This theorem is referenced by:  sq10  13031  abs0  14006  odd2np1lem  15045  divalglem8  15104  11prm  15803  631prm  15815  1259lem1  15819  1259lem3  15821  1259lem4  15822  2503lem1  15825  2503lem2  15826  4001lem1  15829  4001lem2  15830  4001lem3  15831  4001prm  15833  pcoass  22805  sin2pi  24208  abscxpbnd  24475  log2ub  24657  dchrmulid2  24958  lgsdir2  25036  lgsdir  25038  ex-prmo  27286  siilem2  27677  nmophmi  28860  hgt750lem2  30704  stoweidlem36  40016  fmtnofac1  41247  fmtno5faclem1  41256  fmtno5faclem2  41257  31prm  41277
  Copyright terms: Public domain W3C validator