MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2lt0rlt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul2lt0rlt0 11876
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0rlt0 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem mul2lt0rlt0
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mul2lt0.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2remulcld 10015 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5 0red 9986 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
6 negelrp 11808 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 ∈ ℝ+𝐵 < 0))
72, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (-𝐵 ∈ ℝ+𝐵 < 0))
87biimpar 502 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
9 mul2lt0.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
109adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
114, 5, 8, 10ltdiv1dd 11873 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) < (0 / -𝐵))
121recnd 10013 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1312adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
142recnd 10013 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
1613, 15mulcld 10005 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
17 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
1817lt0ne0d 10538 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
1916, 15, 18divneg2d 10760 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵))
2013, 15, 18divcan4d 10752 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
2120negeqd 10220 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = -𝐴)
2219, 21eqtr3d 2662 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) = -𝐴)
2315negcld 10324 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℂ)
2415, 18negne0d 10335 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐵 ≠ 0)
2523, 24div0d 10745 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → (0 / -𝐵) = 0)
2611, 22, 253brtr3d 4649 . 2 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐴 < 0)
271adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2827lt0neg2d 10543 . 2 ((𝜑𝐵 < 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
2926, 28mpbird 247 1 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1992   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881   · cmul 9886   < clt 10019  -cneg 10212   / cdiv 10629  +crp 11776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-rp 11777
This theorem is referenced by:  mul2lt0llt0  11878  mul2lt0bi  11880  sgnmul  30377  signsply0  30400
  Copyright terms: Public domain W3C validator