MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul32 10148
Description: Commutative/associative law. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
mul32 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem mul32
StepHypRef Expression
1 mulcom 9967 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
21oveq2d 6621 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐶 · 𝐵)))
323adant1 1077 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐶 · 𝐵)))
4 mulass 9969 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
5 mulass 9969 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) = (𝐴 · (𝐶 · 𝐵)))
653com23 1268 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) = (𝐴 · (𝐶 · 𝐵)))
73, 4, 63eqtr4d 2670 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  (class class class)co 6605  cc 9879   · cmul 9886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-mulcom 9945  ax-mulass 9947
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-iota 5813  df-fv 5858  df-ov 6608
This theorem is referenced by:  mul4  10150  mul02lem1  10157  mul32i  10177  mul32d  10191  muldvds1  14925  2sqlem6  25043  cnlnadjlem2  28767  cnlnadjlem7  28772
  Copyright terms: Public domain W3C validator