MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul32d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul32d 10231
Description: Commutative/associative law that swaps the last two factors in a triple product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
muld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mul32d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem mul32d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addcomd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 addcand.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 mul32 10188 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))
51, 2, 3, 4syl3anc 1324 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  (class class class)co 6635  cc 9919   · cmul 9926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-mulcom 9985  ax-mulass 9987
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-iota 5839  df-fv 5884  df-ov 6638
This theorem is referenced by:  conjmul  10727  modmul1  12706  binom3  12968  bernneq  12973  expmulnbnd  12979  discr  12984  bcm1k  13085  bcp1n  13086  reccn2  14308  binomlem  14542  binomfallfaclem2  14752  tanadd  14878  eirrlem  14913  dvds2ln  14995  bezoutlem4  15240  divgcdcoprm0  15360  modprm0  15491  nrginvrcnlem  22476  tchcphlem2  23016  csbren  23163  radcnvlem1  24148  tanarg  24346  cxpeq  24479  quad2  24547  binom4  24558  dquartlem2  24560  dquart  24561  quart1lem  24563  dvatan  24643  log2cnv  24652  basellem8  24795  bcmono  24983  gausslemma2d  25080  lgsquadlem1  25086  2lgslem3b  25103  2lgslem3c  25104  2lgslem3d  25105  rplogsumlem1  25154  dchrisumlem2  25160  chpdifbndlem1  25223  selberg3lem1  25227  selberg4  25231  selberg3r  25239  pntrlog2bndlem2  25248  pntrlog2bndlem3  25249  pntrlog2bndlem5  25251  pntlemf  25275  pntlemo  25277  ostth2lem1  25288  ostth2lem3  25305  logdivsqrle  30702  circum  31542  jm2.25  37385  jm2.27c  37393  binomcxplemnotnn0  38375  dvasinbx  39898  stirlinglem3  40056  dirkercncflem2  40084  cevathlem1  40819
  Copyright terms: Public domain W3C validator