MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul4d 10840
Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
muld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
mul4d.4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mul4d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addcomd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 addcand.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 mul4d.4 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5 mul4 10796 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 834 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523   · cmul 10530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-mulcl 10587  ax-mulcom 10589  ax-mulass 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-iota 6307  df-fv 6356  df-ov 7148
This theorem is referenced by:  remullem  14475  absmul  14642  binomrisefac  15384  cosadd  15506  tanadd  15508  eulerthlem2  16107  mul4sqlem  16277  odadd2  18898  itgmulc2  24361  plymullem1  24731  chordthmlem4  25340  heron  25343  quartlem1  25362  dchrmulcl  25752  bposlem9  25795  lgsdir  25835  lgsdi  25837  lgsquad2lem1  25887  chtppilimlem1  25976  rplogsumlem1  25987  dchrvmasumlem1  25998  dchrvmasum2lem  25999  chpdifbndlem1  26056  pntlemf  26108  brbtwn2  26618  colinearalglem4  26622  madjusmdetlem4  30994  hgt750lemf  31823  hgt750leme  31828  circum  32814  itgmulc2nc  34841  pellexlem6  39309  pell1234qrmulcl  39330  rmxyadd  39396  wallispi2lem2  42234  dirkertrigeqlem3  42262  cevathlem1  43001  itsclc0xyqsolr  44684
  Copyright terms: Public domain W3C validator