MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul4d 10200
Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
muld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
mul4d.4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mul4d (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 addcomd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 addcand.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 mul4d.4 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5 mul4 10157 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1324 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6610  cc 9886   · cmul 9893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-mulcl 9950  ax-mulcom 9952  ax-mulass 9954
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-iota 5815  df-fv 5860  df-ov 6613
This theorem is referenced by:  remullem  13810  absmul  13976  binomrisefac  14709  cosadd  14831  tanadd  14833  eulerthlem2  15422  mul4sqlem  15592  odadd2  18184  itgmulc2  23523  plymullem1  23891  chordthmlem4  24479  heron  24482  quartlem1  24501  dchrmulcl  24891  bposlem9  24934  lgsdir  24974  lgsdi  24976  lgsquad2lem1  25026  chtppilimlem1  25079  rplogsumlem1  25090  dchrvmasumlem1  25101  dchrvmasum2lem  25102  chpdifbndlem1  25159  pntlemf  25211  brbtwn2  25702  colinearalglem4  25706  madjusmdetlem4  29702  circum  31311  itgmulc2nc  33145  pellexlem6  36913  pell1234qrmulcl  36934  rmxyadd  37001  wallispi2lem2  39622  dirkertrigeqlem3  39650  cevathlem1  40386
  Copyright terms: Public domain W3C validator