Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulc1cncfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulc1cncfg 39257
Description: A version of mulc1cncf 22648 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mulc1cncfg.1 𝑥𝐹
mulc1cncfg.2 𝑥𝜑
mulc1cncfg.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
mulc1cncfg.4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mulc1cncfg (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem mulc1cncfg
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulc1cncfg.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))
32mulc1cncf 22648 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
41, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5 cncff 22636 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
7 mulc1cncfg.3 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
8 cncff 22636 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
10 fcompt 6365 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡))))
116, 9, 10syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡))))
129ffvelrnda 6325 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐴) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
131adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1413, 12mulcld 10020 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝐴) → (𝐵 · (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
15 mulc1cncfg.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐹
16 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥𝑡
1715, 16nffv 6165 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑡)
18 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥𝐵
19 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥 ·
2018, 19, 17nfov 6641 . . . . . . 7 𝑥(𝐵 · (𝐹𝑡))
21 oveq2 6623 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑡) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝐹𝑡)))
2217, 20, 21, 2fvmptf 6267 . . . . . 6 (((𝐹𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝐹𝑡)) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡)) = (𝐵 · (𝐹𝑡)))
2312, 14, 22syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝐴) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡)) = (𝐵 · (𝐹𝑡)))
2423mpteq2dva 4714 . . . 4 (𝜑 → (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡))) = (𝑡𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑡))))
25 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑡𝐵
26 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑡 ·
27 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑡(𝐹𝑥)
2825, 26, 27nfov 6641 . . . . 5 𝑡(𝐵 · (𝐹𝑥))
29 fveq2 6158 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑥 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑥))
3029oveq2d 6631 . . . . 5 (𝑡 = 𝑥 → (𝐵 · (𝐹𝑡)) = (𝐵 · (𝐹𝑥)))
3120, 28, 30cbvmpt 4719 . . . 4 (𝑡𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑡))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥)))
3224, 31syl6eq 2671 . . 3 (𝜑 → (𝑡𝐴 ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥))‘(𝐹𝑡))) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))))
3311, 32eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))))
347, 4cncfco 22650 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝐵 · 𝑥)) ∘ 𝐹) ∈ (𝐴cn→ℂ))
3533, 34eqeltrrd 2699 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (𝐹𝑥))) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wnfc 2748  cmpt 4683  ccom 5088  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894   · cmul 9901  cnccncf 22619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-cncf 22621
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator