MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulclpr 9695
Description: Closure of multiplication on positive reals. First statement of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclpr ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 ·P 𝐵) ∈ P)

Proof of Theorem mulclpr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mp 9659 . 2 ·P = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧)})
2 mulclnq 9622 . 2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) ∈ Q)
3 ltmnq 9647 . 2 (Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( ·Q 𝑓) <Q ( ·Q 𝑔)))
4 mulcomnq 9628 . 2 (𝑥 ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q 𝑥)
5 mulclprlem 9694 . 2 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔 ·Q ) → 𝑥 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
61, 2, 3, 4, 5genpcl 9683 1 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 ·P 𝐵) ∈ P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976  (class class class)co 6524   ·Q cmq 9531  Pcnp 9534   ·P cmp 9537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-omul 7426  df-er 7603  df-ni 9547  df-mi 9549  df-lti 9550  df-mpq 9584  df-ltpq 9585  df-enq 9586  df-nq 9587  df-erq 9588  df-mq 9590  df-1nq 9591  df-rq 9592  df-ltnq 9593  df-np 9656  df-mp 9659
This theorem is referenced by:  mulasspr  9699  distrlem1pr  9700  distrlem4pr  9701  distrlem5pr  9702  mulcmpblnr  9745  mulclsr  9758  mulasssr  9764  distrsr  9765  m1m1sr  9767  1idsr  9772  00sr  9773  recexsrlem  9777  mulgt0sr  9779
  Copyright terms: Public domain W3C validator