Theorem mulcomnq 10377

Description: Multiplication of positive fractions is commutative. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomnq	⊢ (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴)

Proof of Theorem mulcomnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcompq 10376	. . . 4 ⊢ (𝐴 ·pQ 𝐵) = (𝐵 ·pQ 𝐴)
2	1	fveq2i 6675	. . 3 ⊢ ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴))
3		mulpqnq 10365	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = ([Q]‘(𝐴 ·pQ 𝐵)))
4		mulpqnq 10365	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴)))
5	4	ancoms 461	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝐴) = ([Q]‘(𝐵 ·pQ 𝐴)))
6	2, 3, 5	3eqtr4a 2884	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
7		mulnqf 10373	. . . 4 ⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6526	. . 3 ⊢ dom ·Q = (Q × Q)
9	8	ndmovcom 7337	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴))
10	6, 9	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐴 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   × cxp 5555  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ·_pQ cmpq 10273  Qcnq 10276  [Q]cerq 10278   ·_Q cmq 10280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-omul 8109  df-er 8291  df-ni 10296  df-mi 10298  df-lti 10299  df-mpq 10333  df-enq 10335  df-nq 10336  df-erq 10337  df-mq 10339  df-1nq 10340

This theorem is referenced by:  recmulnq  10388  recrecnq  10391  halfnq  10400  ltrnq  10403  addclprlem1  10440  addclprlem2  10441  mulclprlem  10443  mulclpr  10444  mulcompr  10447  distrlem4pr  10450  1idpr  10453  prlem934  10457  prlem936  10471  reclem3pr  10473  reclem4pr  10474