MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcxplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcxplem 24627
Description: Lemma for mulcxp 24628. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcxp.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mulcxp.2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mulcxplem (𝜑 → (0↑𝑐𝐶) = ((𝐴𝑐𝐶) · (0↑𝑐𝐶)))

Proof of Theorem mulcxplem
StepHypRef Expression
1 oveq2 6819 . . . 4 (𝐶 = 0 → (0↑𝑐𝐶) = (0↑𝑐0))
2 0cn 10222 . . . . 5 0 ∈ ℂ
3 cxp0 24613 . . . . 5 (0 ∈ ℂ → (0↑𝑐0) = 1)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 (0↑𝑐0) = 1
51, 4syl6eq 2808 . . 3 (𝐶 = 0 → (0↑𝑐𝐶) = 1)
6 oveq2 6819 . . . 4 (𝐶 = 0 → (𝐴𝑐𝐶) = (𝐴𝑐0))
76, 5oveq12d 6829 . . 3 (𝐶 = 0 → ((𝐴𝑐𝐶) · (0↑𝑐𝐶)) = ((𝐴𝑐0) · 1))
85, 7eqeq12d 2773 . 2 (𝐶 = 0 → ((0↑𝑐𝐶) = ((𝐴𝑐𝐶) · (0↑𝑐𝐶)) ↔ 1 = ((𝐴𝑐0) · 1)))
9 mulcxp.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
10 mulcxp.2 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
11 cxpcl 24617 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
129, 10, 11syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
1312adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℂ)
1413mul01d 10425 . . 3 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → ((𝐴𝑐𝐶) · 0) = 0)
15 0cxp 24609 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
1610, 15sylan 489 . . . 4 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
1716oveq2d 6827 . . 3 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → ((𝐴𝑐𝐶) · (0↑𝑐𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐶) · 0))
1814, 17, 163eqtr4rd 2803 . 2 ((𝜑𝐶 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐶) = ((𝐴𝑐𝐶) · (0↑𝑐𝐶)))
19 cxp0 24613 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐0) = 1)
209, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑐0) = 1)
2120oveq1d 6826 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑐0) · 1) = (1 · 1))
22 1t1e1 11365 . . 3 (1 · 1) = 1
2321, 22syl6req 2809 . 2 (𝜑 → 1 = ((𝐴𝑐0) · 1))
248, 18, 23pm2.61ne 3015 1 (𝜑 → (0↑𝑐𝐶) = ((𝐴𝑐𝐶) · (0↑𝑐𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  (class class class)co 6811  cc 10124  0cc0 10126  1c1 10127   · cmul 10131  𝑐ccxp 24499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205  ax-mulf 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ioo 12370  df-ioc 12371  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-mod 12861  df-seq 12994  df-exp 13053  df-fac 13253  df-bc 13282  df-hash 13310  df-shft 14004  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-limsup 14399  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-sum 14614  df-ef 14995  df-sin 14997  df-cos 14998  df-pi 15000  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-hom 16166  df-cco 16167  df-rest 16283  df-topn 16284  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-topgen 16304  df-pt 16305  df-prds 16308  df-xrs 16362  df-qtop 16367  df-imas 16368  df-xps 16370  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-mulg 17740  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-fbas 19943  df-fg 19944  df-cnfld 19947  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-cld 21023  df-ntr 21024  df-cls 21025  df-nei 21102  df-lp 21140  df-perf 21141  df-cn 21231  df-cnp 21232  df-haus 21319  df-tx 21565  df-hmeo 21758  df-fil 21849  df-fm 21941  df-flim 21942  df-flf 21943  df-xms 22324  df-ms 22325  df-tms 22326  df-cncf 22880  df-limc 23827  df-dv 23828  df-log 24500  df-cxp 24501
This theorem is referenced by:  mulcxp  24628
  Copyright terms: Public domain W3C validator