MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muldvds1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muldvds1 15206
Description: If a product divides an integer, so does one of its factors. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
muldvds1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁𝐾𝑁))

Proof of Theorem muldvds1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmulcl 11616 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
21anim1i 593 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
323impa 1101 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4 3simpb 1145 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
5 zmulcl 11616 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑀) ∈ ℤ)
65ancoms 468 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑀) ∈ ℤ)
763ad2antl2 1202 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑀) ∈ ℤ)
8 zcn 11572 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
9 zcn 11572 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
10 zcn 11572 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
11 mulass 10214 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝐾) · 𝑀) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
12 mul32 10393 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝐾) · 𝑀) = ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾))
1311, 12eqtr3d 2794 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾))
148, 9, 10, 13syl3an 1164 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾))
15143coml 1122 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾))
16153expa 1112 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾))
17163adantl3 1174 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾))
1817eqeq1d 2760 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = 𝑁 ↔ ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = 𝑁))
1918biimpd 219 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = 𝑁 → ((𝑥 · 𝑀) · 𝐾) = 𝑁))
203, 4, 7, 19dvds1lem 15193 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁𝐾𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137   class class class wbr 4802  (class class class)co 6811  cc 10124   · cmul 10131  cz 11567  cdvds 15180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-ltxr 10269  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-n0 11483  df-z 11568  df-dvds 15181
This theorem is referenced by:  3dvds  15252  3dvdsOLD  15253  odmulg  18171  jm2.20nn  38064  jm2.27c  38074  nzss  39016  etransclem28  40980  fmtnofac2lem  41988
  Copyright terms: Public domain W3C validator