Theorem muldvds2 15229

Description: If a product divides an integer, so does one of its factors. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
muldvds2	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem muldvds2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 11638	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
2	1	anim1i 593	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
3	2	3impa 1101	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
4		3simpc 1147	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
5		zmulcl 11638	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐾) ∈ ℤ)
6	5	ancoms 468	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐾) ∈ ℤ)
7	6	3ad2antl1 1201	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐾) ∈ ℤ)
8		zcn 11594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		zcn 11594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
10		zcn 11594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
11		mulass 10236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝐾) · 𝑀) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
12	8, 9, 10, 11	syl3an 1164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐾) · 𝑀) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
13	12	3coml 1122	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐾) · 𝑀) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
14	13	3expa 1112	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐾) · 𝑀) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
15	14	3adantl3 1174	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐾) · 𝑀) = (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)))
16	15	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝐾) · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = 𝑁))
17	16	biimprd 238	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝐾 · 𝑀)) = 𝑁 → ((𝑥 · 𝐾) · 𝑀) = 𝑁))
18	3, 4, 7, 17	dvds1lem 15215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) ∥ 𝑁 → 𝑀 ∥ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  ℂcc 10146   · cmul 10153  ℤcz 11589   ∥ cdvds 15202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-dvds 15203

This theorem is referenced by:  jm2.27a  38092  fmtnofac2lem  42008