MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulexp 12882
Description: Positive integer exponentiation of a product. Proposition 10-4.2(c) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
mulexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))

Proof of Theorem mulexp
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6643 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑0))
2 oveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
3 oveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐵𝑗) = (𝐵↑0))
42, 3oveq12d 6653 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)))
51, 4eqeq12d 2635 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑0) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0))))
65imbi2d 330 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)))))
7 oveq2 6643 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘))
8 oveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
9 oveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
108, 9oveq12d 6653 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)))
117, 10eqeq12d 2635 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘))))
1211imbi2d 330 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)))))
13 oveq2 6643 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)))
14 oveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
15 oveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑗) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
1614, 15oveq12d 6653 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
1713, 16eqeq12d 2635 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
1817imbi2d 330 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
19 oveq2 6643 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁))
20 oveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
21 oveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑁))
2220, 21oveq12d 6653 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))
2319, 22eqeq12d 2635 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁))))
2423imbi2d 330 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))))
25 mulcl 10005 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
26 exp0 12847 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = 1)
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = 1)
28 exp0 12847 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
29 exp0 12847 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
3028, 29oveqan12d 6654 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)) = (1 · 1))
31 1t1e1 11160 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
3230, 31syl6eq 2670 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)) = 1)
3327, 32eqtr4d 2657 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)))
34 expp1 12850 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)))
3525, 34sylan 488 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)))
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘))) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)))
37 oveq1 6642 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)))
38 expcl 12861 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
39 expcl 12861 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
4038, 39anim12i 589 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ))
4140anandirs 873 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ))
42 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
43 mul4 10190 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐴𝑘) · 𝐴) · ((𝐵𝑘) · 𝐵)))
4441, 42, 43syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐴𝑘) · 𝐴) · ((𝐵𝑘) · 𝐵)))
45 expp1 12850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
4645adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
47 expp1 12850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
4847adantll 749 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
4946, 48oveq12d 6653 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴𝑘) · 𝐴) · ((𝐵𝑘) · 𝐵)))
5044, 49eqtr4d 2657 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
5137, 50sylan9eqr 2676 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘))) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
5236, 51eqtrd 2654 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘))) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
5352exp31 629 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
5453com12 32 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
5554a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘))) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
566, 12, 18, 24, 33, 55nn0ind 11457 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁))))
5756expdcom 455 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))))
58573imp 1254 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  (class class class)co 6635  cc 9919  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  0cn0 11277  cexp 12843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-seq 12785  df-exp 12844
This theorem is referenced by:  mulexpz  12883  expdiv  12894  expubnd  12904  sqmul  12909  mulexpd  13006  efi4p  14848  logtayl2  24389  ipidsq  27535  fprodexp  39626
  Copyright terms: Public domain W3C validator