MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulexp 12711
Description: Positive integer exponentiation of a product. Proposition 10-4.2(c) of [Gleason] p. 135, restricted to nonnegative integer exponents. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
mulexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))

Proof of Theorem mulexp
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6530 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑0))
2 oveq2 6530 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
3 oveq2 6530 . . . . . . 7 (𝑗 = 0 → (𝐵𝑗) = (𝐵↑0))
42, 3oveq12d 6540 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)))
51, 4eqeq12d 2619 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑0) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0))))
65imbi2d 328 . . . 4 (𝑗 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)))))
7 oveq2 6530 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘))
8 oveq2 6530 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
9 oveq2 6530 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
108, 9oveq12d 6540 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)))
117, 10eqeq12d 2619 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘))))
1211imbi2d 328 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)))))
13 oveq2 6530 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)))
14 oveq2 6530 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
15 oveq2 6530 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑗) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
1614, 15oveq12d 6540 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
1713, 16eqeq12d 2619 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1)))))
1817imbi2d 328 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
19 oveq2 6530 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁))
20 oveq2 6530 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
21 oveq2 6530 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑁))
2220, 21oveq12d 6540 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))
2319, 22eqeq12d 2619 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗)) ↔ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁))))
2423imbi2d 328 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑗) = ((𝐴𝑗) · (𝐵𝑗))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))))
25 mulcl 9871 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
26 exp0 12676 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = 1)
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = 1)
28 exp0 12676 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
29 exp0 12676 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
3028, 29oveqan12d 6541 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)) = (1 · 1))
31 1t1e1 11017 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
3230, 31syl6eq 2654 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)) = 1)
3327, 32eqtr4d 2641 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑0) = ((𝐴↑0) · (𝐵↑0)))
34 expp1 12679 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)))
3525, 34sylan 486 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)))
3635adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘))) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)))
37 oveq1 6529 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)))
38 expcl 12690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
39 expcl 12690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
4038, 39anim12i 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ))
4140anandirs 869 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ))
42 simpl 471 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
43 mul4 10051 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℂ) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐴𝑘) · 𝐴) · ((𝐵𝑘) · 𝐵)))
4441, 42, 43syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐴𝑘) · 𝐴) · ((𝐵𝑘) · 𝐵)))
45 expp1 12679 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
4645adantlr 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
47 expp1 12679 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
4847adantll 745 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
4946, 48oveq12d 6540 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴𝑘) · 𝐴) · ((𝐵𝑘) · 𝐵)))
5044, 49eqtr4d 2641 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
5137, 50sylan9eqr 2660 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘))) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
5236, 51eqtrd 2638 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘))) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))
5352exp31 627 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
5453com12 32 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘)) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
5554a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑘) = ((𝐴𝑘) · (𝐵𝑘))) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) · (𝐵↑(𝑘 + 1))))))
566, 12, 18, 24, 33, 55nn0ind 11299 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁))))
5756expdcom 453 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ℂ → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))))
58573imp 1248 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) · (𝐵𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  (class class class)co 6522  cc 9785  0cc0 9787  1c1 9788   + caddc 9790   · cmul 9792  0cn0 11134  cexp 12672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-nn 10863  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-seq 12614  df-exp 12673
This theorem is referenced by:  mulexpz  12712  expdiv  12723  expubnd  12733  sqmul  12738  mulexpd  12835  efi4p  14647  logtayl2  24120  ipidsq  26748  fprodexp  38460
  Copyright terms: Public domain W3C validator