MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgaddcomlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgaddcomlem 17328
Description: Lemma for mulgaddcom 17329. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgaddcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgaddcom.t · = (.g𝐺)
mulgaddcom.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgaddcomlem (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgaddcomlem
StepHypRef Expression
1 simp1 1053 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
21adantr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → 𝐺 ∈ Grp)
3 simp3 1055 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
43adantr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → 𝑋𝐵)
5 znegcl 11241 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6 mulgaddcom.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 mulgaddcom.t . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
86, 7mulgcl 17324 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
95, 8syl3an2 1351 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
109adantr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
11 eqid 2605 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
126, 11grpinvcl 17232 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
13123adant2 1072 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
1413adantr 479 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)
15 mulgaddcom.p . . . . . 6 + = (+g𝐺)
166, 15grpass 17196 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((invg𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) = (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘𝑋))))
172, 4, 10, 14, 16syl13anc 1319 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) = (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘𝑋))))
186, 7, 11mulgneg 17325 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)))
1918adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (-𝑦 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)))
2019oveq1d 6538 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘𝑋)) = (((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)))
216, 7mulgcl 17324 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2221adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵)
236, 15, 11grpinvadd 17258 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)))
242, 4, 22, 23syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)))
2519oveq2d 6539 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)) = (((invg𝐺)‘𝑋) + ((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
266, 15, 11grpinvadd 17258 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((invg𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = (((invg𝐺)‘𝑋) + ((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
272, 22, 4, 26syl3anc 1317 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = (((invg𝐺)‘𝑋) + ((invg𝐺)‘(𝑦 · 𝑋))))
28 fveq2 6084 . . . . . . . 8 (((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋)) → ((invg𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = ((invg𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
2928adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg𝐺)‘((𝑦 · 𝑋) + 𝑋)) = ((invg𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))))
3025, 27, 293eqtr2rd 2646 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((invg𝐺)‘(𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) = (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)))
3120, 24, 303eqtr2d 2645 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘𝑋)) = (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋)))
3231oveq2d 6539 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + ((-𝑦 · 𝑋) + ((invg𝐺)‘𝑋))) = (𝑋 + (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))))
336, 15, 11grpasscan1 17243 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))) = (-𝑦 · 𝑋))
342, 4, 10, 33syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + (((invg𝐺)‘𝑋) + (-𝑦 · 𝑋))) = (-𝑦 · 𝑋))
3517, 32, 343eqtrd 2643 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) = (-𝑦 · 𝑋))
3635oveq1d 6538 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋))
376, 15grpcl 17195 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (-𝑦 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
381, 3, 9, 37syl3anc 1317 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
3938adantr 479 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵)
406, 15, 11grpasscan2 17244 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
412, 39, 4, 40syl3anc 1317 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → (((𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘𝑋)) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
4236, 41eqtr3d 2641 1 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) ∧ ((𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑦 · 𝑋))) → ((-𝑦 · 𝑋) + 𝑋) = (𝑋 + (-𝑦 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5786  (class class class)co 6523  -cneg 10114  cz 11206  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  Grpcgrp 17187  invgcminusg 17188  .gcmg 17305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-seq 12615  df-0g 15867  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-mulg 17306
This theorem is referenced by:  mulgaddcom  17329
  Copyright terms: Public domain W3C validator