mulgcddvds - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulgcddvds		Structured version Visualization version GIF version

Theorem mulgcddvds 15993

Description: One half of rpmulgcd2 15994, which does not need the coprimality assumption. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
mulgcddvds	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))

**Proof of Theorem mulgcddvds**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		simp2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simp3 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 12087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	1, 4	gcdcld 15851	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ₀)
6	5	nn0zd 12079	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ)
7		dvds0 15619	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 0)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 0)
9	8	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 0)
10		oveq2 7158	. . . 4 ⊢ ((𝐾 gcd 𝑁) = 0 → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · 0))
11	1, 2	gcdcld 15851	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℕ₀)
12	11	nn0cnd 11951	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℂ)
13	12	mul01d 10833	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) · 0) = 0)
14	10, 13	sylan9eqr 2878	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 0) → ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)) = 0)
15	9, 14	breqtrrd 5086	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) = 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
16	6	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ)
17	16	zcnd 12082	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℂ)
18	1, 3	gcdcld 15851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℕ₀)
19	18	nn0zd 12079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
20	19	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12082	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
22		simpr 487	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0)
23	17, 21, 22	divcan1d 11411	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) = (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
24		gcddvds 15846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
25	1, 4, 24	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
26	25	simpld 497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾)
27	6, 1, 19, 26	dvdsmultr1d 15642	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)))
28	27	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)))
29	23, 28	eqbrtrd 5080	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)))
30		gcddvds 15846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
31	1, 3, 30	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
32	31	simpld 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾)
33	31	simprd 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
34		dvdsmultr2 15643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
35	19, 2, 3, 34	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
36	33, 35	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
37		dvdsgcd 15886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁))))
38	19, 1, 4, 37	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd 𝑁) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁))))
39	32, 36, 38	mp2and 697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
40	39	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
41		dvdsval2 15604	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
42	20, 22, 16, 41	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd 𝑁) ∥ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
43	40, 42	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
44	1	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℤ)
45		dvdsmulcr 15633	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾))
46	43, 44, 20, 22, 45	syl112anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾))
47	29, 46	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾)
48		nn0abscl 14666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℕ₀)
49	2, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ₀)
50	49	nn0zd 12079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
51		dvdsmultr2 15643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾 → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾)))
52	6, 50, 1, 51	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ 𝐾 → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾)))
53	26, 52	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾))
54	25	simprd 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
55		iddvds 15617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∥ 𝑀)
56	2, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ 𝑀)
57		dvdsabsb 15623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑀)))
58	2, 2, 57	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑀)))
59	56, 58	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (abs‘𝑀))
60		dvdsmulc 15631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝑀) → (𝑀 · 𝑁) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
61	2, 50, 3, 60	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝑀) → (𝑀 · 𝑁) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
62	59, 61	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁))
63	50, 3	zmulcld 12087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ)
64		dvdstr 15640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((abs‘𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝑀 · 𝑁) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
65	6, 4, 63, 64	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝑀 · 𝑁) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
66	54, 62, 65	mp2and 697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁))
67	50, 1	zmulcld 12087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · 𝐾) ∈ ℤ)
68		dvdsgcd 15886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((abs‘𝑀) · 𝐾) ∈ ℤ ∧ ((abs‘𝑀) · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾) ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁))))
69	6, 67, 63, 68	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝐾) ∧ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((abs‘𝑀) · 𝑁)) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁))))
70	53, 66, 69	mp2and 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
71	18	nn0red 11950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
72	18	nn0ge0d 11952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝐾 gcd 𝑁))
73	71, 72	absidd 14776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐾 gcd 𝑁)) = (𝐾 gcd 𝑁))
74	73	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) · (abs‘(𝐾 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
75	2	zcnd 12082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
76	18	nn0cnd 11951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
77	75, 76	absmuld 14808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝑀) · (abs‘(𝐾 gcd 𝑁))))
78		mulgcd 15890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
79	49, 1, 3, 78	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
80	74, 77, 79	3eqtr4d 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁))) = (((abs‘𝑀) · 𝐾) gcd ((abs‘𝑀) · 𝑁)))
81	70, 80	breqtrrd 5086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁))))
82	2, 19	zmulcld 12087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
83		dvdsabsb 15623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))))
84	6, 82, 83	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (abs‘(𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))))
85	81, 84	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))
86	85	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))
87	23, 86	eqbrtrd 5080	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)))
88	2	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
89		dvdsmulcr 15633	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0)) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀))
90	43, 88, 20, 22, 89	syl112anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝑀 · (𝐾 gcd 𝑁)) ↔ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀))
91	87, 90	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀)
92		dvdsgcd 15886	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀)))
93	43, 44, 88, 92	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝐾 ∧ ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ 𝑀) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀)))
94	47, 91, 93	mp2and 697	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → ((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀))
95	11	nn0zd 12079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
96	95	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
97		dvdsmulc 15631	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁))))
98	43, 96, 20, 97	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ (𝐾 gcd 𝑀) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁))))
99	94, 98	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (((𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) / (𝐾 gcd 𝑁)) · (𝐾 gcd 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
100	23, 99	eqbrtrrd 5082	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))
101	15, 100	pm2.61dane 3104	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) ∥ ((𝐾 gcd 𝑀) · (𝐾 gcd 𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1533 ∈ wcel 2110 ≠ wne 3016 class class class wbr 5058 ‘cfv 6349 (class class class)co 7150 0cc0 10531 · cmul 10536 / cdiv 11291 ℕ₀cn0 11891 ℤcz 11975 abscabs 14587 ∥ cdvds 15601 gcd cgcd 15837

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1907 ax-6 1966 ax-7 2011 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2173 ax-ext 2793 ax-sep 5195 ax-nul 5202 ax-pow 5258 ax-pr 5321 ax-un 7455 ax-cnex 10587 ax-resscn 10588 ax-1cn 10589 ax-icn 10590 ax-addcl 10591 ax-addrcl 10592 ax-mulcl 10593 ax-mulrcl 10594 ax-mulcom 10595 ax-addass 10596 ax-mulass 10597 ax-distr 10598 ax-i2m1 10599 ax-1ne0 10600 ax-1rid 10601 ax-rnegex 10602 ax-rrecex 10603 ax-cnre 10604 ax-pre-lttri 10605 ax-pre-lttrn 10606 ax-pre-ltadd 10607 ax-pre-mulgt0 10608 ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1536 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2066 df-mo 2618 df-eu 2650 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3772 df-csb 3883 df-dif 3938 df-un 3940 df-in 3942 df-ss 3951 df-pss 3953 df-nul 4291 df-if 4467 df-pw 4540 df-sn 4561 df-pr 4563 df-tp 4565 df-op 4567 df-uni 4832 df-iun 4913 df-br 5059 df-opab 5121 df-mpt 5139 df-tr 5165 df-id 5454 df-eprel 5459 df-po 5468 df-so 5469 df-fr 5508 df-we 5510 df-xp 5555 df-rel 5556 df-cnv 5557 df-co 5558 df-dm 5559 df-rn 5560 df-res 5561 df-ima 5562 df-pred 6142 df-ord 6188 df-on 6189 df-lim 6190 df-suc 6191 df-iota 6308 df-fun 6351 df-fn 6352 df-f 6353 df-f1 6354 df-fo 6355 df-f1o 6356 df-fv 6357 df-riota 7108 df-ov 7153 df-oprab 7154 df-mpo 7155 df-om 7575 df-2nd 7684 df-wrecs 7941 df-recs 8002 df-rdg 8040 df-er 8283 df-en 8504 df-dom 8505 df-sdom 8506 df-sup 8900 df-inf 8901 df-pnf 10671 df-mnf 10672 df-xr 10673 df-ltxr 10674 df-le 10675 df-sub 10866 df-neg 10867 df-div 11292 df-nn 11633 df-2 11694 df-3 11695 df-n0 11892 df-z 11976 df-uz 12238 df-rp 12384 df-fl 13156 df-mod 13232 df-seq 13364 df-exp 13424 df-cj 14452 df-re 14453 df-im 14454 df-sqrt 14588 df-abs 14589 df-dvds 15602 df-gcd 15838

This theorem is referenced by: rpmulgcd2 15994 rpmul 15997

W3C validator