Theorem mulgdirlem 18257

Description: Lemma for mulgdir 18258. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnndir.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgdirlem	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgdirlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1187	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpmnd 18109	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
4		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		simprr 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		simpl23 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		mulgnndir.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		mulgnndir.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
9		mulgnndir.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
10	7, 8, 9	mulgnn0dir 18256	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
11	3, 4, 5, 6, 10	syl13anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
12	11	anassrs 470	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
13		simpl1 1187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Grp)
14		simp22 1203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		simpl23 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
18	7, 8, 17	mulgneg 18245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
19	13, 15, 16, 18	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
20	19	oveq1d 7170	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)))
21	7, 8	mulgcl 18244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
22	13, 15, 16, 21	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
23		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
24	7, 9, 23, 17	grplinv 18151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
25	13, 22, 24	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
26	20, 25	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
27	26	oveq2d 7171	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (0g‘𝐺)))
28		simpl3 1189	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
29		nn0z 12004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
31	7, 8	mulgcl 18244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
32	13, 30, 16, 31	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
33	7, 9, 23	grprid 18133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (0g‘𝐺)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
34	13, 32, 33	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (0g‘𝐺)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
35	27, 34	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
36		nn0z 12004	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
37	36	ad2antll 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℤ)
38	7, 8	mulgcl 18244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
39	13, 37, 16, 38	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
40	7, 9	grpass 18111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
41	13, 32, 39, 22, 40	syl13anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))))
42	13, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
43		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → -𝑁 ∈ ℕ0)
44	7, 8, 9	mulgnn0dir 18256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) · 𝑋) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)))
45	42, 28, 43, 16, 44	syl13anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) · 𝑋) = (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)))
46		simp21 1202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
47	46	zcnd 12087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
48	14	zcnd 12087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
49	47, 48	addcld 10659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
50	49	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
51	48	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
52	50, 51	negsubd 11002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁))
53	47	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
54	53, 51	pncand 10997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑀)
55	52, 54	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) = 𝑀)
56	55	oveq1d 7170	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) + -𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
57	45, 56	eqtr3d 2858	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
58	57	oveq1d 7170	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + (-𝑁 · 𝑋)) + (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
59	41, 58	eqtr3d 2858	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) + ((-𝑁 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
60	35, 59	eqtr3d 2858	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
61	60	anassrs 470	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
62		elznn0 11995	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
63	62	simprbi 499	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
64	14, 63	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
65	64	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
66	12, 61, 65	mpjaodan 955	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
67		simpl1 1187	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
68	46	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
69		simpl23 1249	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
70	7, 8	mulgcl 18244	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
71	67, 68, 69, 70	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
72	68	znegcld 12088	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℤ)
73	7, 8	mulgcl 18244	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
74	67, 72, 69, 73	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
75	29	3ad2ant3 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
76	75	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
77	67, 76, 69, 31	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)
78	7, 9	grpass 18111	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (-𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵)) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))))
79	67, 71, 74, 77, 78	syl13anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))))
80	7, 8, 17	mulgneg 18245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
81	67, 68, 69, 80	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
82	81	oveq2d 7171	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))))
83	7, 9, 23, 17	grprinv 18152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))) = (0g‘𝐺))
84	67, 71, 83	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + ((invg‘𝐺)‘(𝑀 · 𝑋))) = (0g‘𝐺))
85	82, 84	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) = (0g‘𝐺))
86	85	oveq1d 7170	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((0g‘𝐺) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
87	7, 9, 23	grplid 18132	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
88	67, 77, 87	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((0g‘𝐺) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
89	86, 88	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑋)) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))
90	67, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
91		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
92		simpl3 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
93	7, 8, 9	mulgnn0dir 18256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) · 𝑋) = ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
94	90, 91, 92, 69, 93	syl13anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) · 𝑋) = ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)))
95	47	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℂ)
96	95	negcld 10983	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℂ)
97	49	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℂ)
98	96, 97	addcomd 10841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) = ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀))
99	97, 95	negsubd 11002	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) + -𝑀) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
100	48	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
101	95, 100	pncan2d 10998	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
102	98, 99, 101	3eqtrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) = 𝑁)
103	102	oveq1d 7170	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 + (𝑀 + 𝑁)) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
104	94, 103	eqtr3d 2858	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
105	104	oveq2d 7171	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + ((-𝑀 · 𝑋) + ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
106	79, 89, 105	3eqtr3d 2864	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
107		elznn0 11995	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
108	107	simprbi 499	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
109	46, 108	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
110	66, 106, 109	mpjaodan 955	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  ℝcr 10535   + caddc 10539   − cmin 10869  -cneg 10870  ℕ₀cn0 11896  ℤcz 11980  Basecbs 16482  +_gcplusg 16564  0_gc0g 16712  Mndcmnd 17910  Grpcgrp 18102  inv_gcminusg 18103  ._gcmg 18223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-seq 13369  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-mulg 18224

This theorem is referenced by:  mulgdir  18258