MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulge0d 11205
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
mulge0d (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 addge0d.3 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 addge0d.4 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5 mulge0 11146 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 834 1 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525   · cmul 10530  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669
This theorem is referenced by:  supmul1  11598  mul2lt0bi  12483  faclbnd6  13647  sqrtmul  14607  sqreulem  14707  climcnds  15194  efcllem  15419  lcmgcdlem  15938  nmoi  23264  nmoleub2lem3  23646  ipcau2  23764  trirn  23930  itg1ge0  24214  itg1ge0a  24239  itgmulc2lem1  24359  bddmulibl  24366  dvlip  24517  dvfsumlem4  24553  dvfsum2  24558  plyeq0lem  24727  radcnvlem1  24928  dvradcnv  24936  cxpsqrtlem  25212  abscxpbnd  25261  heron  25343  asinlem3  25376  vmadivsum  25985  rpvmasumlem  25990  dchrisumlem2  25993  dchrisum0flblem2  26012  dchrisum0re  26016  mulog2sumlem2  26038  vmalogdivsum2  26041  2vmadivsumlem  26043  selbergb  26052  selberg2lem  26053  selberg2b  26055  chpdifbndlem1  26056  selberg3lem2  26061  selberg4lem1  26063  pntrlog2bndlem1  26080  pntrlog2bndlem2  26081  pntrlog2bndlem4  26083  pntrlog2bndlem6  26086  pntrlog2bnd  26087  pntlemn  26103  ostth2lem3  26138  ttgcontlem1  26598  brbtwn2  26618  colinearalglem4  26622  ax5seglem3  26644  branmfn  29809  wrdt2ind  30554  eulerpartlemgc  31519  hgt750lemf  31823  hgt750lemb  31826  hgt750lema  31827  iblmulc2nc  34838  itgmulc2nclem1  34839  geomcau  34915  rrnequiv  34994  pellexlem2  39305  pellexlem6  39309  pell1qrge1  39345  rmxypos  39422  ltrmxnn0  39424  nzprmdif  40528  xralrple3  41518  fmul01  41737  dvbdfbdioolem2  42090  stoweidlem1  42163  stoweidlem16  42178  stoweidlem26  42188  stoweidlem38  42200  wallispilem4  42230  wallispi  42232  wallispi2lem1  42233  stirlinglem1  42236  stirlinglem5  42240  stirlinglem6  42241  stirlinglem7  42242  stirlinglem10  42245  stirlinglem11  42246  stirlinglem15  42250  stirlingr  42252  fourierdlem42  42311  rrndistlt  42452  itsclc0yqsollem2  44678  2itscp  44696
  Copyright terms: Public domain W3C validator