MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulge0d 10796
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
mulge0d (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 addge0d.3 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 addge0d.4 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5 mulge0 10738 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1478 1 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128   · cmul 10133  cle 10267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272
This theorem is referenced by:  supmul1  11184  mul2lt0bi  12129  faclbnd6  13280  sqrtmul  14199  sqreulem  14298  climcnds  14782  lcmgcdlem  15521  nmoi  22733  nmoleub2lem3  23115  ipcau2  23233  trirn  23383  itg1ge0  23652  itg1ge0a  23677  itgmulc2lem1  23797  bddmulibl  23804  dvlip  23955  dvfsumlem4  23991  dvfsum2  23996  plyeq0lem  24165  radcnvlem1  24366  dvradcnv  24374  cxpsqrtlem  24647  abscxpbnd  24693  heron  24764  asinlem3  24797  vmadivsum  25370  rpvmasumlem  25375  dchrisumlem2  25378  dchrisum0flblem2  25397  dchrisum0re  25401  mulog2sumlem2  25423  vmalogdivsum2  25426  2vmadivsumlem  25428  selbergb  25437  selberg2lem  25438  selberg2b  25440  chpdifbndlem1  25441  selberg3lem2  25446  selberg4lem1  25448  pntrlog2bndlem1  25465  pntrlog2bndlem2  25466  pntrlog2bndlem4  25468  pntrlog2bndlem6  25471  pntrlog2bnd  25472  pntlemn  25488  ostth2lem3  25523  ttgcontlem1  25964  brbtwn2  25984  colinearalglem4  25988  ax5seglem3  26010  branmfn  29273  eulerpartlemgc  30733  hgt750lemf  31040  hgt750lemb  31043  hgt750lema  31044  iblmulc2nc  33788  itgmulc2nclem1  33789  geomcau  33868  rrnequiv  33947  pellexlem2  37896  pellexlem6  37900  pell1qrge1  37936  rmxypos  38016  ltrmxnn0  38018  nzprmdif  39020  xralrple3  40088  fmul01  40315  dvbdfbdioolem2  40647  stoweidlem1  40721  stoweidlem16  40736  stoweidlem26  40746  stoweidlem38  40758  wallispilem4  40788  wallispi  40790  wallispi2lem1  40791  stirlinglem1  40794  stirlinglem5  40798  stirlinglem6  40799  stirlinglem7  40800  stirlinglem10  40803  stirlinglem11  40804  stirlinglem15  40808  stirlingr  40810  fourierdlem42  40869  rrndistlt  41013
  Copyright terms: Public domain W3C validator