MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgfvi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgfvi 17311
Description: The group multiple operation is compatible with identity-function protection. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mulgfvi.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgfvi · = (.g‘( I ‘𝐺))

Proof of Theorem mulgfvi
StepHypRef Expression
1 mulgfvi.t . 2 · = (.g𝐺)
2 fvi 6147 . . . . 5 (𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
32eqcomd 2612 . . . 4 (𝐺 ∈ V → 𝐺 = ( I ‘𝐺))
43fveq2d 6089 . . 3 (𝐺 ∈ V → (.g𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺)))
5 fvprc 6079 . . . 4 𝐺 ∈ V → (.g𝐺) = ∅)
6 fvprc 6079 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = ∅)
76fveq2d 6089 . . . . 5 𝐺 ∈ V → (.g‘( I ‘𝐺)) = (.g‘∅))
8 base0 15683 . . . . . . . 8 ∅ = (Base‘∅)
9 eqid 2606 . . . . . . . 8 (.g‘∅) = (.g‘∅)
108, 9mulgfn 17310 . . . . . . 7 (.g‘∅) Fn (ℤ × ∅)
11 xp0 5454 . . . . . . . 8 (ℤ × ∅) = ∅
1211fneq2i 5883 . . . . . . 7 ((.g‘∅) Fn (ℤ × ∅) ↔ (.g‘∅) Fn ∅)
1310, 12mpbi 218 . . . . . 6 (.g‘∅) Fn ∅
14 fn0 5907 . . . . . 6 ((.g‘∅) Fn ∅ ↔ (.g‘∅) = ∅)
1513, 14mpbi 218 . . . . 5 (.g‘∅) = ∅
167, 15syl6eq 2656 . . . 4 𝐺 ∈ V → (.g‘( I ‘𝐺)) = ∅)
175, 16eqtr4d 2643 . . 3 𝐺 ∈ V → (.g𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺)))
184, 17pm2.61i 174 . 2 (.g𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺))
191, 18eqtri 2628 1 · = (.g‘( I ‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  c0 3870   I cid 4935   × cxp 5023   Fn wfn 5782  cfv 5787  cz 11207  .gcmg 17306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-neg 10117  df-z 11208  df-seq 12616  df-slot 15642  df-base 15643  df-mulg 17307
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator