Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgghm 18166
 Description: The map from 𝑥 to 𝑛𝑥 for a fixed integer 𝑛 is a group homomorphism if the group is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmhm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmhm.m · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgghm ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥, ·

Proof of Theorem mulgghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgmhm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2621 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 ablgrp 18130 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
43adantr 481 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
5 mulgmhm.m . . . . . 6 · = (.g𝐺)
61, 5mulgcl 17491 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
73, 6syl3an1 1356 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
873expa 1262 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑀 · 𝑥) ∈ 𝐵)
9 eqid 2621 . . 3 (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))
108, 9fmptd 6346 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)):𝐵𝐵)
11 3anass 1040 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)))
121, 5, 2mulgdi 18164 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
1311, 12sylan2br 493 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵))) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
1413anassrs 679 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
151, 2grpcl 17362 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
16153expb 1263 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
174, 16sylan 488 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵)
18 oveq2 6618 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
19 ovex 6638 . . . . 5 (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∈ V
2018, 9, 19fvmpt 6244 . . . 4 ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
2117, 20syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (𝑀 · (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
22 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
23 ovex 6638 . . . . . 6 (𝑀 · 𝑦) ∈ V
2422, 9, 23fvmpt 6244 . . . . 5 (𝑦𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦) = (𝑀 · 𝑦))
25 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑧))
26 ovex 6638 . . . . . 6 (𝑀 · 𝑧) ∈ V
2725, 9, 26fvmpt 6244 . . . . 5 (𝑧𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧) = (𝑀 · 𝑧))
2824, 27oveqan12d 6629 . . . 4 ((𝑦𝐵𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
2928adantl 482 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)) = ((𝑀 · 𝑦)(+g𝐺)(𝑀 · 𝑧)))
3014, 21, 293eqtr4d 2665 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = (((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑦)(+g𝐺)((𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥))‘𝑧)))
311, 1, 2, 2, 4, 4, 10, 30isghmd 17601 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑀 · 𝑥)) ∈ (𝐺 GrpHom 𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ↦ cmpt 4678  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  ℤcz 11329  Basecbs 15792  +gcplusg 15873  Grpcgrp 17354  .gcmg 17472   GrpHom cghm 17589  Abelcabl 18126 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-mulg 17473  df-ghm 17590  df-cmn 18127  df-abl 18128 This theorem is referenced by:  gsummulglem  18273
 Copyright terms: Public domain W3C validator