MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgmodid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgmodid 17350
Description: Casting out multiples of the identity element leaves the group multiple unchanged. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmodid.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmodid.o 0 = (0g𝐺)
mulgmodid.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgmodid ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem mulgmodid
StepHypRef Expression
1 zre 11214 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 nnrp 11674 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ+)
3 modval 12487 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑁 mod 𝑀) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
41, 2, 3syl2an 492 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑀) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
543ad2ant2 1075 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 mod 𝑀) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
65oveq1d 6542 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = ((𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋))
7 zcn 11215 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
87adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
9 nnz 11232 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
109adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
11 nnre 10874 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
12 nnne0 10900 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
13 redivcl 10593 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℝ)
141, 11, 12, 13syl3an 1359 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℝ)
15143anidm23 1376 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℝ)
1615flcld 12416 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
1710, 16zmulcld 11320 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ)
1817zcnd 11315 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℂ)
198, 18negsubd 10249 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
20193ad2ant2 1075 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
2120oveq1d 6542 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋) = ((𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋))
22 simp1 1053 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝐺 ∈ Grp)
23 simpl 471 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
24233ad2ant2 1075 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℤ)
25103ad2ant2 1075 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝑀 ∈ ℤ)
26163ad2ant2 1075 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
2725, 26zmulcld 11320 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ)
2827znegcld 11316 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ)
29 simpl 471 . . . . 5 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 ) → 𝑋𝐵)
30293ad2ant3 1076 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝑋𝐵)
31 mulgmodid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
32 mulgmodid.t . . . . 5 · = (.g𝐺)
33 eqid 2609 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3431, 32, 33mulgdir 17342 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋)(+g𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)))
3522, 24, 28, 30, 34syl13anc 1319 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋)(+g𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)))
366, 21, 353eqtr2d 2649 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋)(+g𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)))
37 nncn 10875 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
3837adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
3916zcnd 11315 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℂ)
4038, 39mulneg2d 10334 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) = -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))))
41403ad2ant2 1075 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) = -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))))
4241oveq1d 6542 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = (-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋))
43153ad2ant2 1075 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℝ)
4443flcld 12416 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
4544znegcld 11316 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → -(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
4631, 32mulgassr 17349 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)))
4722, 45, 25, 30, 46syl13anc 1319 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)))
48 oveq2 6535 . . . . . . 7 ((𝑀 · 𝑋) = 0 → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ))
4948adantl 480 . . . . . 6 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 ) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ))
50493ad2ant3 1076 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ))
51 mulgmodid.o . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
5231, 32, 51mulgz 17337 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ -(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ) = 0 )
5322, 45, 52syl2anc 690 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ) = 0 )
5447, 50, 533eqtrd 2647 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = 0 )
5542, 54eqtr3d 2645 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = 0 )
5655oveq2d 6543 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 · 𝑋)(+g𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)) = ((𝑁 · 𝑋)(+g𝐺) 0 ))
57 id 22 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
5831, 32mulgcl 17328 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
5957, 23, 29, 58syl3an 1359 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
6031, 33, 51grprid 17222 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋)(+g𝐺) 0 ) = (𝑁 · 𝑋))
6122, 59, 60syl2anc 690 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 · 𝑋)(+g𝐺) 0 ) = (𝑁 · 𝑋))
6236, 56, 613eqtrd 2647 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792   + caddc 9795   · cmul 9797  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10533  cn 10867  cz 11210  +crp 11664  cfl 12408   mod cmo 12485  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  0gc0g 15869  Grpcgrp 17191  .gcmg 17309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-mulg 17310
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator