MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnegnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnegnn 18176
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m · = (.g𝐺)
mulgnegnn.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnegnn ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnegnn
StepHypRef Expression
1 nncn 11634 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
21negnegd 10976 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 = 𝑁)
32adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → --𝑁 = 𝑁)
43fveq2d 6667 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
54fveq2d 6667 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁)))
6 nnnegz 11972 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
7 mulg1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2818 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
9 eqid 2818 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
10 mulgnegnn.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝐺)
11 mulg1.m . . . . 5 · = (.g𝐺)
12 eqid 2818 . . . . 5 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))
137, 8, 9, 10, 11, 12mulgval 18166 . . . 4 ((-𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))))
146, 13sylan 580 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))))
15 nnne0 11659 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
16 negeq0 10928 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
1716necon3abid 3049 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
181, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
1915, 18mpbid 233 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ -𝑁 = 0)
2019iffalsed 4474 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁))))
21 nnre 11633 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2221renegcld 11055 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
23 nngt0 11656 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
2421lt0neg2d 11198 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ -𝑁 < 0))
2523, 24mpbid 233 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 < 0)
26 0re 10631 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
27 ltnsym 10726 . . . . . . . 8 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
2826, 27mpan2 687 . . . . . . 7 (-𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
2922, 25, 28sylc 65 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 0 < -𝑁)
3029iffalsed 4474 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁))) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
3120, 30eqtrd 2853 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
3231adantr 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
3314, 32eqtrd 2853 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
347, 8, 11, 12mulgnn 18170 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
3534fveq2d 6667 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁)))
365, 33, 353eqtr4d 2863 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  ifcif 4463  {csn 4557   class class class wbr 5057   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   < clt 10663  -cneg 10859  cn 11626  cz 11969  seqcseq 13357  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  invgcminusg 18042  .gcmg 18162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13358  df-mulg 18163
This theorem is referenced by:  mulgsubcl  18180  mulgneg  18184  mulgneg2  18199  cnfldmulg  20505  tgpmulg  22629  xrsmulgzz  30592  archiabllem1b  30748
  Copyright terms: Public domain W3C validator