MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnegnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnegnn 17320
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m · = (.g𝐺)
mulgnegnn.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnegnn ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnegnn
StepHypRef Expression
1 nncn 10875 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
21negnegd 10234 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → --𝑁 = 𝑁)
32adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → --𝑁 = 𝑁)
43fveq2d 6092 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
54fveq2d 6092 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁)))
6 nnnegz 11213 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℤ)
7 mulg1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 eqid 2609 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
9 eqid 2609 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
10 mulgnegnn.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝐺)
11 mulg1.m . . . . 5 · = (.g𝐺)
12 eqid 2609 . . . . 5 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))
137, 8, 9, 10, 11, 12mulgval 17312 . . . 4 ((-𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))))
146, 13sylan 486 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))))
15 nnne0 10900 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
16 negeq0 10186 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 = 0 ↔ -𝑁 = 0))
1716necon3abid 2817 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
181, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ -𝑁 = 0))
1915, 18mpbid 220 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ -𝑁 = 0)
2019iffalsed 4046 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁))))
21 nnre 10874 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2221renegcld 10308 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℝ)
23 nngt0 10896 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
2421lt0neg2d 10447 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ -𝑁 < 0))
2523, 24mpbid 220 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 < 0)
26 0re 9896 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
27 ltnsym 9986 . . . . . . . 8 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
2826, 27mpan2 702 . . . . . . 7 (-𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
2922, 25, 28sylc 62 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 0 < -𝑁)
3029iffalsed 4046 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁))) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
3120, 30eqtrd 2643 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
3231adantr 479 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → if(-𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < -𝑁, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘-𝑁), (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
3314, 32eqtrd 2643 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘--𝑁)))
347, 8, 11, 12mulgnn 17316 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
3534fveq2d 6092 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝐼‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁)))
365, 33, 353eqtr4d 2653 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  ifcif 4035  {csn 4124   class class class wbr 4577   × cxp 5026  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   < clt 9930  -cneg 10118  cn 10867  cz 11210  seqcseq 12618  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  0gc0g 15869  invgcminusg 17192  .gcmg 17309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-z 11211  df-seq 12619  df-mulg 17310
This theorem is referenced by:  mulgsubcl  17324  mulgneg  17329  mulgneg2  17344  cnfldmulg  19543  tgpmulg  21649  xrsmulgzz  28815  archiabllem1b  28883
  Copyright terms: Public domain W3C validator