Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn 17748
 Description: Group multiple (exponentiation) operation at a positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn.p + = (+g𝐺)
mulgnn.t · = (.g𝐺)
mulgnn.s 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
Assertion
Ref Expression
mulgnn ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝑆𝑁))

Proof of Theorem mulgnn
StepHypRef Expression
1 nnz 11591 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2 mulgnn.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 mulgnn.p . . . 4 + = (+g𝐺)
4 eqid 2760 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5 eqid 2760 . . . 4 (invg𝐺) = (invg𝐺)
6 mulgnn.t . . . 4 · = (.g𝐺)
7 mulgnn.s . . . 4 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
82, 3, 4, 5, 6, 7mulgval 17744 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), ((invg𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))))
91, 8sylan 489 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), ((invg𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))))
10 nnne0 11245 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
1110neneqd 2937 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
1211iffalsed 4241 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), ((invg𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), ((invg𝐺)‘(𝑆‘-𝑁))))
13 nngt0 11241 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
1413iftrued 4238 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), ((invg𝐺)‘(𝑆‘-𝑁))) = (𝑆𝑁))
1512, 14eqtrd 2794 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), ((invg𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = (𝑆𝑁))
1615adantr 472 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → if(𝑁 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), ((invg𝐺)‘(𝑆‘-𝑁)))) = (𝑆𝑁))
179, 16eqtrd 2794 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (𝑆𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ifcif 4230  {csn 4321   class class class wbr 4804   × cxp 5264  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   < clt 10266  -cneg 10459  ℕcn 11212  ℤcz 11569  seqcseq 12995  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  0gc0g 16302  invgcminusg 17624  .gcmg 17741 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-z 11570  df-seq 12996  df-mulg 17742 This theorem is referenced by:  mulg1  17749  mulgnnp1  17750  mulgnegnn  17752  mulgnnsubcl  17754  mulgnn0z  17768  mulgnndir  17770  mulgnndirOLD  17771  submmulg  17787  subgmulg  17809  mulgnn0di  18431  gsumconst  18534  ressmulgnn  29992
 Copyright terms: Public domain W3C validator