MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0di Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0di 18875
Description: Group multiple of a sum, for nonnegative multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgdi.m · = (.g𝐺)
mulgdi.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0di ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgnn0di
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmnmnd 18851 . . . . . 6 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
21ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
3 mulgdi.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 mulgdi.p . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
53, 4mndcl 17907 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
653expb 1112 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
72, 6sylan 580 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
83, 4cmncom 18852 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
983expb 1112 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
109ad4ant14 748 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
113, 4mndass 17908 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
122, 11sylan 580 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
13 simpr 485 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
14 nnuz 12269 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
1513, 14eleqtrdi 2920 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
16 simplr2 1208 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
17 elfznn 12924 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ)
18 fvconst2g 6956 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) = 𝑋)
1916, 17, 18syl2an 595 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) = 𝑋)
2016adantr 481 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑋𝐵)
2119, 20eqeltrd 2910 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑘) ∈ 𝐵)
22 simplr3 1209 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑌𝐵)
23 fvconst2g 6956 . . . . . 6 ((𝑌𝐵𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) = 𝑌)
2422, 17, 23syl2an 595 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) = 𝑌)
2522adantr 481 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → 𝑌𝐵)
2624, 25eqeltrd 2910 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {𝑌})‘𝑘) ∈ 𝐵)
273, 4mndcl 17907 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
282, 16, 22, 27syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
29 fvconst2g 6956 . . . . . 6 (((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (𝑋 + 𝑌))
3028, 17, 29syl2an 595 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (𝑋 + 𝑌))
3119, 24oveq12d 7163 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (((ℕ × {𝑋})‘𝑘) + ((ℕ × {𝑌})‘𝑘)) = (𝑋 + 𝑌))
3230, 31eqtr4d 2856 . . . 4 ((((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})‘𝑘) = (((ℕ × {𝑋})‘𝑘) + ((ℕ × {𝑌})‘𝑘)))
337, 10, 12, 15, 21, 26, 32seqcaopr 13395 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀)))
34 mulgdi.m . . . . 5 · = (.g𝐺)
35 eqid 2818 . . . . 5 seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)})) = seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))
363, 4, 34, 35mulgnn 18170 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀))
3713, 28, 36syl2anc 584 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (seq1( + , (ℕ × {(𝑋 + 𝑌)}))‘𝑀))
38 eqid 2818 . . . . . 6 seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
393, 4, 34, 38mulgnn 18170 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
4013, 16, 39syl2anc 584 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
41 eqid 2818 . . . . . 6 seq1( + , (ℕ × {𝑌})) = seq1( + , (ℕ × {𝑌}))
423, 4, 34, 41mulgnn 18170 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀 · 𝑌) = (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀))
4313, 22, 42syl2anc 584 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑌) = (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀))
4440, 43oveq12d 7163 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq1( + , (ℕ × {𝑌}))‘𝑀)))
4533, 37, 443eqtr4d 2863 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
461ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐺 ∈ Mnd)
47 simplr2 1208 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑋𝐵)
48 simplr3 1209 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑌𝐵)
4946, 47, 48, 27syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
50 eqid 2818 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
513, 50, 34mulg0 18169 . . . . 5 ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵 → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = (0g𝐺))
5249, 51syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = (0g𝐺))
53 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5453, 50mndidcl 17914 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺))
5553, 4, 50mndlid 17919 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (0g𝐺) ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺) + (0g𝐺)) = (0g𝐺))
561, 54, 55syl2anc2 585 . . . . 5 (𝐺 ∈ CMnd → ((0g𝐺) + (0g𝐺)) = (0g𝐺))
5756ad2antrr 722 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((0g𝐺) + (0g𝐺)) = (0g𝐺))
5852, 57eqtr4d 2856 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · (𝑋 + 𝑌)) = ((0g𝐺) + (0g𝐺)))
59 simpr 485 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
6059oveq1d 7160 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = (0 · (𝑋 + 𝑌)))
6159oveq1d 7160 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
623, 50, 34mulg0 18169 . . . . . 6 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
6347, 62syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
6461, 63eqtrd 2853 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0g𝐺))
6559oveq1d 7160 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
663, 50, 34mulg0 18169 . . . . . 6 (𝑌𝐵 → (0 · 𝑌) = (0g𝐺))
6748, 66syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · 𝑌) = (0g𝐺))
6865, 67eqtrd 2853 . . . 4 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑌) = (0g𝐺))
6964, 68oveq12d 7163 . . 3 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) = ((0g𝐺) + (0g𝐺)))
7058, 60, 693eqtr4d 2863 . 2 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
71 simpr1 1186 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
72 elnn0 11887 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
7371, 72sylib 219 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
7445, 70, 73mpjaodan 952 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {csn 4557   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526  cn 11626  0cn0 11885  cuz 12231  ...cfz 12880  seqcseq 13357  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  0gc0g 16701  Mndcmnd 17899  .gcmg 18162  CMndccmn 18835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mulg 18163  df-cmn 18837
This theorem is referenced by:  mulgdi  18876  mulgmhm  18877
  Copyright terms: Public domain W3C validator