MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0dir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0dir 17618
Description: Sum of group multiples, generalized to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t · = (.g𝐺)
mulgnndir.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0dir ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnn0dir
StepHypRef Expression
1 mndsgrp 17346 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ SGrp)
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝐺 ∈ SGrp)
32adantr 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ SGrp)
43adantr 480 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ SGrp)
5 simplr 807 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
6 simpr 476 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
7 simpr3 1089 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝑋𝐵)
87ad2antrr 762 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
9 mulgnndir.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
10 mulgnndir.t . . . . 5 · = (.g𝐺)
11 mulgnndir.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
129, 10, 11mulgnndir 17616 . . . 4 ((𝐺 ∈ SGrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
134, 5, 6, 8, 12syl13anc 1368 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
14 simpll 805 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝐺 ∈ Mnd)
15 simpr1 1087 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1615adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
17 simplr3 1125 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋𝐵)
189, 10mulgnn0cl 17605 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
1914, 16, 17, 18syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
20 eqid 2651 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
219, 11, 20mndrid 17359 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + (0g𝐺)) = (𝑀 · 𝑋))
2214, 19, 21syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (0g𝐺)) = (𝑀 · 𝑋))
23 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
2423oveq1d 6705 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
259, 20, 10mulg0 17593 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2617, 25syl 17 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
2724, 26eqtrd 2685 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0g𝐺))
2827oveq2d 6706 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) + (0g𝐺)))
2923oveq2d 6706 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
3016nn0cnd 11391 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
3130addid1d 10274 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
3229, 31eqtrd 2685 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = 𝑀)
3332oveq1d 6705 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
3422, 28, 333eqtr4rd 2696 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
3534adantlr 751 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
36 simpr2 1088 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
37 elnn0 11332 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3836, 37sylib 208 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3938adantr 480 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4013, 35, 39mpjaodan 844 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
41 simpll 805 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐺 ∈ Mnd)
42 simplr2 1124 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
43 simplr3 1125 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑋𝐵)
449, 10mulgnn0cl 17605 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
4541, 42, 43, 44syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
469, 11, 20mndlid 17358 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺) + (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
4741, 45, 46syl2anc 694 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((0g𝐺) + (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
48 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
4948oveq1d 6705 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
5043, 25syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
5149, 50eqtrd 2685 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 · 𝑋) = (0g𝐺))
5251oveq1d 6705 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = ((0g𝐺) + (𝑁 · 𝑋)))
5348oveq1d 6705 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = (0 + 𝑁))
5442nn0cnd 11391 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
5554addid2d 10275 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
5653, 55eqtrd 2685 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = 𝑁)
5756oveq1d 6705 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
5847, 52, 573eqtr4rd 2696 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
59 elnn0 11332 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
6015, 59sylib 208 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
6140, 58, 60mpjaodan 844 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974   + caddc 9977  cn 11058  0cn0 11330  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  SGrpcsgrp 17330  Mndcmnd 17341  .gcmg 17587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mulg 17588
This theorem is referenced by:  mulgdirlem  17619  odmodnn0  18005  mndodconglem  18006  srgbinomlem  18590  evlslem1  19563  cpmadugsumlemB  20727  omndmul2  29840  omndmul3  29841
  Copyright terms: Public domain W3C validator