MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0p1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0p1 17317
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0p1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0p1.t · = (.g𝐺)
mulgnn0p1.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0p1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Proof of Theorem mulgnn0p1
StepHypRef Expression
1 simpr 475 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simpl3 1058 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
3 mulgnn0p1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 mulgnn0p1.t . . . 4 · = (.g𝐺)
5 mulgnn0p1.p . . . 4 + = (+g𝐺)
63, 4, 5mulgnnp1 17314 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
71, 2, 6syl2anc 690 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
8 eqid 2605 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
93, 5, 8mndlid 17076 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
103, 8, 4mulg0 17311 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
1110adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
1211oveq1d 6538 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = ((0g𝐺) + 𝑋))
133, 4mulg1 17313 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
1413adantl 480 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
159, 12, 143eqtr4rd 2650 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
16153adant2 1072 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
17 oveq1 6530 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
18 1e0p1 11380 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1917, 18syl6eqr 2657 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
2019oveq1d 6538 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (1 · 𝑋))
21 oveq1 6530 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2221oveq1d 6538 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
2320, 22eqeq12d 2620 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) ↔ (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋)))
2416, 23syl5ibrcom 235 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋)))
2524imp 443 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
26 simp2 1054 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27 elnn0 11137 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2826, 27sylib 206 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
297, 25, 28mpjaodan 822 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5786  (class class class)co 6523  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791  cn 10863  0cn0 11135  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  0gc0g 15865  Mndcmnd 17059  .gcmg 17305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-seq 12615  df-0g 15867  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-mulg 17306
This theorem is referenced by:  mulgaddcom  17329  mulginvcom  17330  mulgneg2  17340  mhmmulg  17348  srgmulgass  18296  srgpcomp  18297  srgpcompp  18298  srgbinomlem4  18308  srgbinomlem  18309  lmodvsmmulgdi  18663  assamulgscmlem2  19112  mplcoe3  19229  cnfldmulg  19539  cnfldexp  19540  tmdmulg  21644  clmmulg  22636  omndmul  28847  lmodvsmdi  41955
  Copyright terms: Public domain W3C validator