MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0p1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0p1 17492
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to 0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0p1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0p1.t · = (.g𝐺)
mulgnn0p1.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0p1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Proof of Theorem mulgnn0p1
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simpl3 1064 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐵)
3 mulgnn0p1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 mulgnn0p1.t . . . 4 · = (.g𝐺)
5 mulgnn0p1.p . . . 4 + = (+g𝐺)
63, 4, 5mulgnnp1 17489 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
71, 2, 6syl2anc 692 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
8 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
93, 5, 8mndlid 17251 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑋) = 𝑋)
103, 8, 4mulg0 17486 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
1110adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝐺))
1211oveq1d 6630 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → ((0 · 𝑋) + 𝑋) = ((0g𝐺) + 𝑋))
133, 4mulg1 17488 . . . . . . 7 (𝑋𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
1413adantl 482 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
159, 12, 143eqtr4rd 2666 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
16153adant2 1078 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
17 oveq1 6622 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = (0 + 1))
18 1e0p1 11512 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
1917, 18syl6eqr 2673 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 + 1) = 1)
2019oveq1d 6630 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (1 · 𝑋))
21 oveq1 6622 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
2221oveq1d 6630 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋))
2320, 22eqeq12d 2636 . . . 4 (𝑁 = 0 → (((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) ↔ (1 · 𝑋) = ((0 · 𝑋) + 𝑋)))
2416, 23syl5ibrcom 237 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 = 0 → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋)))
2524imp 445 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
26 simp2 1060 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27 elnn0 11254 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2826, 27sylib 208 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
297, 25, 28mpjaodan 826 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899  cn 10980  0cn0 11252  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  0gc0g 16040  Mndcmnd 17234  .gcmg 17480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-seq 12758  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mulg 17481
This theorem is referenced by:  mulgaddcom  17504  mulginvcom  17505  mulgneg2  17515  mhmmulg  17523  srgmulgass  18471  srgpcomp  18472  srgpcompp  18473  srgbinomlem4  18483  srgbinomlem  18484  lmodvsmmulgdi  18838  assamulgscmlem2  19289  mplcoe3  19406  cnfldmulg  19718  cnfldexp  19719  tmdmulg  21836  clmmulg  22841  omndmul  29541  lmodvsmdi  41481
  Copyright terms: Public domain W3C validator