MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnndirOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnndirOLD 17551
Description: Obsolete proof of mulgnndir 17550 as of 29-Aug-2021. Sum of group multiples, for positive multiples. TODO: This can be generalized to a semigroup if/when we introduce them. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t · = (.g𝐺)
mulgnndir.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnndirOLD ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnndirOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnndir.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mulgnndir.p . . . . . 6 + = (+g𝐺)
31, 2mndcl 17282 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
433expb 1264 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
54adantlr 750 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐵)
61, 2mndass 17283 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
76adantlr 750 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
8 simpr2 1066 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ)
9 nnuz 11708 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
108, 9syl6eleq 2709 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
11 simpr1 1065 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℕ)
1211nnzd 11466 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
13 eluzadd 11701 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(1 + 𝑀)))
1410, 12, 13syl2anc 692 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(1 + 𝑀)))
1511nncnd 11021 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
168nncnd 11021 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1715, 16addcomd 10223 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
18 ax-1cn 9979 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
19 addcom 10207 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
2015, 18, 19sylancl 693 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 1) = (1 + 𝑀))
2120fveq2d 6182 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ‘(1 + 𝑀)))
2214, 17, 213eltr4d 2714 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
2311, 9syl6eleq 2709 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑀 ∈ (ℤ‘1))
24 simpr3 1067 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → 𝑋𝐵)
25 elfznn 12355 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ)
26 fvconst2g 6452 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
2724, 25, 26syl2an 494 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
2824adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝑋𝐵)
2927, 28eqeltrd 2699 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) ∈ 𝐵)
305, 7, 22, 23, 29seqsplit 12817 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁))))
31 nnaddcl 11027 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
3211, 8, 31syl2anc 692 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
33 mulgnndir.t . . . 4 · = (.g𝐺)
34 eqid 2620 . . . 4 seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
351, 2, 33, 34mulgnn 17528 . . 3 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
3632, 24, 35syl2anc 692 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
371, 2, 33, 34mulgnn 17528 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
3811, 24, 37syl2anc 692 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀))
39 elfznn 12355 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
4024, 39, 26syl2an 494 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
4124adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋𝐵)
42 nnaddcl 11027 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ)
4339, 11, 42syl2anr 495 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ)
44 fvconst2g 6452 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑥 + 𝑀) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑋)
4541, 43, 44syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)) = 𝑋)
4640, 45eqtr4d 2657 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = ((ℕ × {𝑋})‘(𝑥 + 𝑀)))
4710, 12, 46seqshft2 12810 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 𝑀)))
481, 2, 33, 34mulgnn 17528 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
498, 24, 48syl2anc 692 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
5020seqeq1d 12790 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋})) = seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋})))
5150, 17fveq12d 6184 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)) = (seq(1 + 𝑀)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 𝑀)))
5247, 49, 513eqtr4d 2664 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁)))
5338, 52oveq12d 6653 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑀) + (seq(𝑀 + 1)( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑀 + 𝑁))))
5430, 36, 533eqtr4d 2664 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 + 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  {csn 4168   × cxp 5102  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  1c1 9922   + caddc 9924  cn 11005  cz 11362  cuz 11672  ...cfz 12311  seqcseq 12784  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  Mndcmnd 17275  .gcmg 17521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-seq 12785  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mulg 17522
This theorem is referenced by:  mulgnnassOLD  17558
  Copyright terms: Public domain W3C validator