MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnnp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnnp1 18174
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulg1.m · = (.g𝐺)
mulgnnp1.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnnp1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Proof of Theorem mulgnnp1
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 nnuz 12269 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
31, 2eleqtrdi 2920 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4 seqp1 13372 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1))))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1))))
6 id 22 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑋𝐵)
7 peano2nn 11638 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
8 fvconst2g 6956 . . . . 5 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1)) = 𝑋)
96, 7, 8syl2anr 596 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1)) = 𝑋)
109oveq2d 7161 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + ((ℕ × {𝑋})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + 𝑋))
115, 10eqtrd 2853 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + 𝑋))
12 mulg1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
13 mulgnnp1.p . . . 4 + = (+g𝐺)
14 mulg1.m . . . 4 · = (.g𝐺)
15 eqid 2818 . . . 4 seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
1612, 13, 14, 15mulgnn 18170 . . 3 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)))
177, 16sylan 580 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘(𝑁 + 1)))
1812, 13, 14, 15mulgnn 18170 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
1918oveq1d 7160 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋) = ((seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) + 𝑋))
2011, 17, 193eqtr4d 2863 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {csn 4557   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7145  1c1 10526   + caddc 10528  cn 11626  cuz 12231  seqcseq 13357  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .gcmg 18162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13358  df-mulg 18163
This theorem is referenced by:  mulg2  18175  mulgnn0p1  18177  mulgnnass  18200  chfacfpmmulgsum2  21401  xrsmulgzz  30592  ofldchr  30814
  Copyright terms: Public domain W3C validator