Theorem mulgnnsubcl 18234

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subsemigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnnsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnnsubcl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnnsubcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgnnsubcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
mulgnnsubcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
mulgnnsubcl.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mulgnnsubcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, ·   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgnnsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		mulgnnsubcl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3	2	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4		simp3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sseldd 3967	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		mulgnnsubcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		mulgnnsubcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8		mulgnnsubcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
9		eqid 2821	. . . 4 ⊢ seq1( + , (ℕ × {𝑋})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
10	6, 7, 8, 9	mulgnn 18226	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
11	1, 5, 10	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
12		nnuz 12275	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
13	1, 12	eleqtrdi 2923	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
14		elfznn 12930	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
15		fvconst2g 6958	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
16	4, 14, 15	syl2an 597	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
17		simpl3 1189	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
18	16, 17	eqeltrd 2913	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × {𝑋})‘𝑥) ∈ 𝑆)
19		mulgnnsubcl.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
20	19	3expb 1116	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
21	20	3ad2antl1 1181	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
22	13, 18, 21	seqcl 13384	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (seq1( + , (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) ∈ 𝑆)
23	11, 22	eqeltrd 2913	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935  {csn 4560   × cxp 5547  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  1c1 10532  ℕcn 11632  ℤ_≥cuz 12237  ...cfz 12886  seqcseq 13363  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  ._gcmg 18218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-seq 13364  df-mulg 18219

This theorem is referenced by:  mulgnn0subcl  18235  mulgsubcl  18236  mulgnncl  18237  xrsmulgzz  30660