MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgsubcl 17324
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnnsubcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnnsubcl.t · = (.g𝐺)
mulgnnsubcl.p + = (+g𝐺)
mulgnnsubcl.g (𝜑𝐺𝑉)
mulgnnsubcl.s (𝜑𝑆𝐵)
mulgnnsubcl.c ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
mulgnn0subcl.z 0 = (0g𝐺)
mulgnn0subcl.c (𝜑0𝑆)
mulgsubcl.i 𝐼 = (invg𝐺)
mulgsubcl.c ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
mulgsubcl ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, ·   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝐼(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgsubcl
StepHypRef Expression
1 mulgnnsubcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mulgnnsubcl.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
3 mulgnnsubcl.p . . . . . 6 + = (+g𝐺)
4 mulgnnsubcl.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝑉)
5 mulgnnsubcl.s . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐵)
6 mulgnnsubcl.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7 mulgnn0subcl.z . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
8 mulgnn0subcl.c . . . . . 6 (𝜑0𝑆)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mulgnn0subcl 17323 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
1093expa 1256 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
1110an32s 841 . . 3 (((𝜑𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
12113adantl2 1210 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
13 simp2 1054 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑁 ∈ ℤ)
1413adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1514zcnd 11315 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
1615negnegd 10234 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
1716oveq1d 6542 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
18 id 22 . . . . . 6 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ)
1953ad2ant1 1074 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑆𝐵)
20 simp3 1055 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
2119, 20sseldd 3568 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → 𝑋𝐵)
22 mulgsubcl.i . . . . . . 7 𝐼 = (invg𝐺)
231, 2, 22mulgnegnn 17320 . . . . . 6 ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
2418, 21, 23syl2anr 493 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
2517, 24eqtr3d 2645 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
261, 2, 3, 4, 5, 6mulgnnsubcl 17322 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑆) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
27263expa 1256 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑋𝑆) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
2827an32s 841 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
29283adantl2 1210 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
30 mulgsubcl.c . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
3130ralrimiva 2948 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
32313ad2ant1 1074 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
3332adantr 479 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆)
34 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝑥 = (-𝑁 · 𝑋) → (𝐼𝑥) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
3534eleq1d 2671 . . . . . 6 (𝑥 = (-𝑁 · 𝑋) → ((𝐼𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝑆))
3635rspcv 3277 . . . . 5 ((-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆 → (∀𝑥𝑆 (𝐼𝑥) ∈ 𝑆 → (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝑆))
3729, 33, 36sylc 62 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝑆)
3825, 37eqeltrd 2687 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
3938adantrl 747 . 2 (((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
40 elznn0nn 11224 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
4113, 40sylib 206 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
4212, 39, 41mpjaodan 822 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wss 3539  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  -cneg 10118  cn 10867  0cn0 11139  cz 11210  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  0gc0g 15869  invgcminusg 17192  .gcmg 17309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-seq 12619  df-mulg 17310
This theorem is referenced by:  mulgcl  17328  subgmulgcl  17376
  Copyright terms: Public domain W3C validator