MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgt0ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgt0ii 10130
Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
mulgt0i.3 0 < 𝐴
mulgt0i.4 0 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
mulgt0ii 0 < (𝐴 · 𝐵)

Proof of Theorem mulgt0ii
StepHypRef Expression
1 mulgt0i.3 . 2 0 < 𝐴
2 mulgt0i.4 . 2 0 < 𝐵
3 lt.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
4 lt.2 . . 3 𝐵 ∈ ℝ
53, 4mulgt0i 10129 . 2 ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
61, 2, 5mp2an 707 1 0 < (𝐴 · 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896   · cmul 9901   < clt 10034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  14858  efif1olem2  24227  efif1olem4  24229  ang180lem1  24473  ang180lem2  24474  chebbnd1lem3  25094  chebbnd1  25095  sinaover2ne0  39414  dirkercncflem4  39660  fourierdlem24  39685  fourierswlem  39784  fouriersw  39785
  Copyright terms: Public domain W3C validator