Theorem mulm1d 10520

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 10509	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  1c1 9975   · cmul 9979  -cneg 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307

This theorem is referenced by:  recextlem1  10695  ofnegsub  11056  modnegd  12765  modsumfzodifsn  12783  m1expcl2  12922  remullem  13912  sqrtneglem  14051  iseraltlem2  14457  iseraltlem3  14458  fsumneg  14563  incexclem  14612  incexc  14613  risefallfac  14799  efi4p  14911  cosadd  14939  absefib  14972  efieq1re  14973  pwp1fsum  15161  bitsinv1lem  15210  bezoutlem1  15303  pythagtriplem4  15571  negcncf  22768  mbfneg  23462  itg1sub  23521  itgcnlem  23601  i1fibl  23619  itgitg1  23620  itgmulc2  23645  dvmptneg  23774  dvlipcn  23802  lhop2  23823  logneg  24379  lognegb  24381  tanarg  24410  logtayl  24451  logtayl2  24453  asinlem  24640  asinlem2  24641  asinsin  24664  efiatan2  24689  2efiatan  24690  atandmtan  24692  atantan  24695  atans2  24703  dvatan  24707  basellem5  24856  lgsdir2lem4  25098  gausslemma2dlem5a  25140  lgseisenlem1  25145  lgseisenlem2  25146  rpvmasum2  25246  ostth3  25372  smcnlem  27680  ipval2  27690  dipsubdir  27831  his2sub  28077  qqhval2lem  30153  fwddifnp1  32397  itgmulc2nc  33608  ftc1anclem5  33619  areacirclem1  33630  mzpsubmpt  37623  rmym1  37817  rngunsnply  38060  expgrowth  38851  isumneg  40152  climneg  40160  stoweidlem22  40557  stirlinglem5  40613  fourierdlem97  40738  sqwvfourb  40764  etransclem46  40815  smfneg  41331  sharhght  41375  sigaradd  41376  altgsumbcALT  42456