Theorem mulm1d 11084

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 11073	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  1c1 10530   · cmul 10534  -cneg 10863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864  df-neg 10865

This theorem is referenced by:  recextlem1  11262  ofnegsub  11628  modnegd  13286  modsumfzodifsn  13304  m1expcl2  13443  remullem  14479  sqrtneglem  14618  iseraltlem2  15031  iseraltlem3  15032  fsumneg  15134  incexclem  15183  incexc  15184  risefallfac  15370  efi4p  15482  cosadd  15510  absefib  15543  efieq1re  15544  pwp1fsum  15734  bitsinv1lem  15782  bezoutlem1  15879  pythagtriplem4  16148  negcncf  23518  mbfneg  24243  itg1sub  24302  itgcnlem  24382  i1fibl  24400  itgitg1  24401  itgmulc2  24426  dvmptneg  24555  dvlipcn  24583  lhop2  24604  logneg  25163  lognegb  25165  tanarg  25194  logtayl  25235  logtayl2  25237  asinlem  25438  asinlem2  25439  asinsin  25462  efiatan2  25487  2efiatan  25488  atandmtan  25490  atantan  25493  atans2  25501  dvatan  25505  basellem5  25654  lgsdir2lem4  25896  gausslemma2dlem5a  25938  lgseisenlem1  25943  lgseisenlem2  25944  rpvmasum2  26080  ostth3  26206  smcnlem  28466  ipval2  28476  dipsubdir  28617  his2sub  28861  qqhval2lem  31215  fwddifnp1  33619  itgmulc2nc  34952  ftc1anclem5  34963  areacirclem1  34974  negexpidd  39269  3cubeslem3r  39274  mzpsubmpt  39330  rmym1  39522  rngunsnply  39763  expgrowth  40657  isumneg  41872  climneg  41880  stoweidlem22  42297  stirlinglem5  42353  fourierdlem97  42478  sqwvfourb  42504  etransclem46  42555  smfneg  43068  sharhght  43112  sigaradd  43113  altgsumbcALT  44391