Theorem mulm1d 10333

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 10322	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  (class class class)co 6526  ℂcc 9790  1c1 9793   · cmul 9797  -cneg 10118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-sub 10119  df-neg 10120

This theorem is referenced by:  recextlem1  10508  ofnegsub  10867  modnegd  12544  modsumfzodifsn  12562  m1expcl2  12701  remullem  13664  sqrtneglem  13803  iseraltlem2  14209  iseraltlem3  14210  fsumneg  14309  incexclem  14355  incexc  14356  risefallfac  14542  efi4p  14654  cosadd  14682  absefib  14715  efieq1re  14716  pwp1fsum  14900  bitsinv1lem  14949  bezoutlem1  15042  pythagtriplem4  15310  negcncf  22476  mbfneg  23167  itg1sub  23226  itgcnlem  23306  i1fibl  23324  itgitg1  23325  itgmulc2  23350  dvmptneg  23479  dvlipcn  23505  lhop2  23526  logneg  24082  lognegb  24084  tanarg  24113  logtayl  24150  logtayl2  24152  asinlem  24339  asinlem2  24340  asinsin  24363  efiatan2  24388  2efiatan  24389  atandmtan  24391  atantan  24394  atans2  24402  dvatan  24406  basellem5  24555  lgsdir2lem4  24797  gausslemma2dlem5a  24839  lgseisenlem1  24844  lgseisenlem2  24845  rpvmasum2  24945  ostth3  25071  smcnlem  26729  ipval2  26739  dipsubdir  26880  his2sub  27126  qqhval2lem  29146  fwddifnp1  31235  itgmulc2nc  32431  ftc1anclem5  32442  areacirclem1  32453  mzpsubmpt  36107  rmym1  36301  rngunsnply  36545  expgrowth  37339  isumneg  38452  climneg  38460  stoweidlem22  38698  stirlinglem5  38754  fourierdlem97  38879  sqwvfourb  38905  etransclem46  38956  sharhght  39486  sigaradd  39487  altgsumbcALT  41905