Theorem mulmarep1el 21184

Description: Element by element multiplication of a matrix with an identity matrix with a column replaced by a vector. (Contributed by AV, 16-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marepvcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
ma1repvcl.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
mulmarep1el.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mulmarep1el.e	⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
mulmarep1el	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))

Proof of Theorem mulmarep1el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐿 ∈ 𝑁)
2		simp2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐽 ∈ 𝑁)
3	1, 2	jca 514	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁))
4		marepvcl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5		marepvcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
6		marepvcl.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
7		ma1repvcl.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
8		mulmarep1el.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		mulmarep1el.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (( 1 (𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾)
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	ma1repveval 21183	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁)) → (𝐿𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )))
11	3, 10	syl3an3 1161	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐿𝐸𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )))
12	11	oveq2d 7175	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))))
13		ovif2 7255	. . 3 ⊢ ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )))
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐾, (𝐶‘𝐿), if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))))
15		ovif2 7255	. . . 4 ⊢ ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 ))
16		simp1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
17		simp1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
18	17	3ad2ant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝐼 ∈ 𝑁)
19	1	3ad2ant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝐿 ∈ 𝑁)
20	5	eleq2i 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
21	20	biimpi 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
22	21	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
23	22	3ad2ant2 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
24		eqid 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25	4, 24	matecl 21037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
26	18, 19, 23, 25	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅))
27		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
28		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
29	24, 27, 28	ringridm 19325	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝐼𝑋𝐿))
30	16, 26, 29	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝐼𝑋𝐿))
31	24, 27, 8	ringrz 19341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑋𝐿) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
32	16, 26, 31	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
33	30, 32	ifeq12d 4490	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → if(𝐽 = 𝐿, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅) 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 ))
34	15, 33	syl5eq 2871	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 ))
35	34	ifeq2d 4489	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)if(𝐽 = 𝐿, (1r‘𝑅), 0 ))) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))
36	12, 14, 35	3eqtrd 2863	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐿 ∈ 𝑁)) → ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐿𝐸𝐽)) = if(𝐽 = 𝐾, ((𝐼𝑋𝐿)(.r‘𝑅)(𝐶‘𝐿)), if(𝐽 = 𝐿, (𝐼𝑋𝐿), 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ifcif 4470  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ↑_m cmap 8409  Basecbs 16486  ._rcmulr 16569  0_gc0g 16716  1_rcur 19254  Ringcrg 19300   Mat cmat 21019   matRepV cmatrepV 21169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-ot 4579  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-sup 8909  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-hom 16592  df-cco 16593  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-prds 16724  df-pws 16726  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-ghm 18359  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-subrg 19536  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-sra 19947  df-rgmod 19948  df-dsmm 20879  df-frlm 20894  df-mamu 20998  df-mat 21020  df-marepv 21171

This theorem is referenced by:  mulmarep1gsum1  21185  mulmarep1gsum2  21186