Theorem mulne0d 11295

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0ord.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mul0ord.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 11294	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 710	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  0cc0 10540   · cmul 10545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876

This theorem is referenced by:  divdivdiv  11344  absrpcl  14651  prodfn0  15253  ntrivcvgmullem  15260  fprodn0f  15348  tanval3  15490  tanaddlem  15522  tanadd  15523  lcmgcdlem  15953  pcqmul  16193  abvdom  19612  itg1mulc  24308  dgrmul  24863  aalioulem4  24927  taylthlem2  24965  tanarg  25205  mulcxp  25271  cxpmul2  25275  relogbmul  25358  angcan  25383  ssscongptld  25403  chordthmlem2  25414  quad2  25420  dcubic2  25425  dcubic  25427  mcubic  25428  cubic2  25429  cubic  25430  lgamgulmlem2  25610  lgsdilem2  25912  lgsdi  25913  pntrlog2bndlem2  26157  padicabv  26209  ttgcontlem1  26674  prmdvdsbc  30535  qqhghm  31233  qqhrhm  31234  itgexpif  31881  knoppndvlem1  33855  knoppndvlem2  33856  knoppndvlem7  33861  knoppndvlem14  33868  knoppndvlem16  33870  itg2addnclem  34947  areacirclem1  34986  3cubeslem2  39288  radcnvrat  40652  divcan8d  41585  mccllem  41884  clim1fr1  41888  reclimc  41940  dvdivcncf  42218  stoweidlem1  42293  wallispilem4  42360  wallispilem5  42361  wallispi2lem1  42363  wallispi2lem2  42364  wallispi2  42365  stirlinglem3  42368  stirlinglem4  42369  stirlinglem10  42375  stirlinglem12  42377  stirlinglem13  42378  stirlinglem14  42379  stirlinglem15  42380  dirker2re  42384  dirkerdenne0  42385  dirkerval2  42386  dirkerre  42387  dirkertrigeqlem2  42391  dirkertrigeqlem3  42392  dirkertrigeq  42393  dirkercncflem2  42396  dirkercncflem4  42398  fourierdlem43  42442  fourierdlem57  42455  fourierdlem58  42456  fourierdlem62  42460  fourierdlem66  42464  fourierdlem68  42466  fourierdlem72  42470  fourierdlem76  42474  fourierdlem78  42476  fourierdlem80  42478  fourierdlem103  42501  fourierdlem104  42502  fourierswlem  42522  fouriersw  42523  sigardiv  43125  cevathlem1  43131  quad1  43792  requad01  43793  requad1  43794