MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulneg1d 10334
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mulneg1d (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mulnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 mulneg1 10317 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6526  cc 9790   · cmul 9797  -cneg 10118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-sub 10119  df-neg 10120
This theorem is referenced by:  divsubdiv  10592  recgt0  10718  xmulneg1  11930  expmulz  12725  discr1  12819  iseraltlem3  14210  incexclem  14355  incexc  14356  mulgass  17350  cphipval  22794  mbfmulc2lem  23164  mbfmulc2  23180  itg2monolem1  23267  itgmulc2  23350  dvexp3  23489  dvfsumlem2  23538  aaliou3lem2  23846  advlogexp  24145  logtayl2  24152  dcubic2  24315  dcubic  24317  ftalem5  24547  lgsdilem  24793  2sqlem4  24890  pntrsumo1  24998  pntrlog2bndlem4  25013  brbtwn2  25530  colinearalglem4  25534  axeuclidlem  25587  fwddifnp1  31235  itgmulc2nc  32431  pellexlem6  36199  jm2.19lem1  36357  jm2.19lem4  36360  jm2.19  36361  binomcxplemnotnn0  37360  sineq0ALT  37978  mulltgt0  37987  fperiodmul  38242  cosknegpi  38535  dvrecg  38583  dvmptdiv  38590  itgsinexplem1  38628  stoweidlem13  38689  stoweidlem42  38718  fourierdlem39  38822  fourierdlem41  38824  fourierdlem48  38830  fourierdlem49  38831  fourierdlem64  38846  etransclem46  38956
  Copyright terms: Public domain W3C validator