MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulneg1d 10521
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mulneg1d (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg1d
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mulnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 mulneg1 10504 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972   · cmul 9979  -cneg 10305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  divsubdiv  10779  recgt0  10905  xmulneg1  12137  expmulz  12946  discr1  13040  iseraltlem3  14458  incexclem  14612  incexc  14613  mulgass  17626  cphipval  23088  mbfmulc2lem  23459  mbfmulc2  23475  itg2monolem1  23562  itgmulc2  23645  dvrecg  23781  dvmptdiv  23782  dvexp3  23786  dvfsumlem2  23835  aaliou3lem2  24143  advlogexp  24446  logtayl2  24453  dcubic2  24616  dcubic  24618  ftalem5  24848  lgsdilem  25094  2sqlem4  25191  pntrsumo1  25299  pntrlog2bndlem4  25314  brbtwn2  25830  colinearalglem4  25834  axeuclidlem  25887  logdivsqrle  30856  fwddifnp1  32397  itgmulc2nc  33608  pellexlem6  37715  jm2.19lem1  37873  jm2.19lem4  37876  jm2.19  37877  binomcxplemnotnn0  38872  sineq0ALT  39487  mulltgt0  39495  fperiodmul  39832  cosknegpi  40398  itgsinexplem1  40487  stoweidlem13  40548  stoweidlem42  40577  fourierdlem39  40681  fourierdlem41  40683  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem64  40705  etransclem46  40815
  Copyright terms: Public domain W3C validator